Условие. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение. Обозначим через A событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: B1 - белых шаров нет, B2 - один белый шар B3 - два белых шара.
Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, PB1(A)=1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, PB2(A)=2/3.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара PB3(A)=3/3=1.
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:
P(A)=P(B1)∙PB1(A)+P(B2)∙PB2(A)+P(B3)∙PB3(A)=1/3∙1/3+1/3∙2/3+1/3∙1=2/3.
