Условие. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы элементов (за время t) соответственно равны: p₁=0,7; p₂=0,8; p₃=0,9. Найти вероятность того, что за время t будут работать безотказно: а) все элементы; б) два элемента; в) один элемент; г) ни один из элементов.
Решение. Вероятность безотказной работы элементов соответственно равны: p₁=0,7; p₂=0,8; p₃=0,9, поэтому вероятности того, что элементы откажут, q₁=0,3; q₂=0,2; q₃=0,1.
Составим производящую функцию:
\[\phi_{3}(z)=(p_{1}z+q_{1})(p_{2}z+q_{2})(p_{3}z+q_{3})=\]
\[=(0,7z+0,3)(0,8z+0,2)(0,9z+0,1)=\]
\[=0,504z^{3}+0,398z^{2}+0,092z+0,006.\]
а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при \(z^{3}:\) \(P_{3}(3)=0,504\)
б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при \(z^{2}:\) \(P_{3}(2)=0,398\)
в) Вероятность того, что один элемент будут работать безотказно, равна коэффициенту при \(z^{1}:\) \(P_{3}(1)=0,092\)
г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену: \(P_{3}(0)=0,006\).
Контроль: 0,504+0,398+0,092+0,006=1.

---