Условие. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины \(X\) - числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.
Решение. Воспользуемся формулой
\[M(X)=nP,\]
где n - общее число испытаний (бросаний пяти костей); \(X\) - число появлений интересующего нас события (на двух костях из пяти появится по одному очку) в n испытаниях; \(P\) - вероятность появления рассматриваемого события в одном испытании.
По условию, \(n=20\). Остается найти \(P\) - вероятность того, что на гранях двух из пяти костей появится по одному очку. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероятность появления одного очка на грани одной кости \(p=1/6\) и,
следовательно, вероятность непоявления \(q=1-1/6=5/6:\)
\[P=P_{5}(2)=C_{5}^{2}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=\frac{5\cdot4\cdot5^{3}}{1\cdot2\cdot6^{5}}=\frac{5^{4}}{3\cdot6^{4}}.\]
Искомое математическое ожидание
\[M(X)=nP=20\cdot\frac{5^{4}}{3\cdot6^{4}}\simeq3.\]
