Условие. Дискретная случайная величина \(X\) задана законом распределения:
| \(X\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
| \(p\) | \(0,1\) | \(1,3\) | \(0,6\) |
Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Решение. Центральный момент первого порядка равен нулю: \(\mu_{1}=0.\)
Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, вырадающими центральные моменты через начальные,
поэтому предварительно найдем начальные моменты:
\[\upsilon_{1}=M(X)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+4\cdot0,6=3,1;\]
\[\upsilon_{2}=M(X^{2})=1\cdot0,1+4\cdot0,3+16\cdot0,6=10,9;\]
\[\upsilon_{3}=M(X^{3})=1\cdot0,1+8\cdot0,3+64\cdot0,6=40,9;\]
\[\upsilon_{4}=M(X^{4})=1\cdot0,1+16\cdot0,3+256\cdot0,6=158,5;\]
Найдем центральные моменты:
\[\mu_{2}=\upsilon_{1}-\upsilon_{1}^{2}=10,9-3,1^{2}=1,29;\]
\[\mu_{3}=\upsilon_{3}-3\upsilon_{1}\upsilon_{2}+2\upsilon_{1}^{3}=40,9-3\cdot3,1\cdot10,9+2\cdot3,1^{3}=-0,888;\]
\[\mu_{4}=\upsilon_{4}-4\upsilon_{3}\upsilon_{1}+6\upsilon_{2}\upsilon_{1}^{2}-3\upsilon_{1}^{4}=\]
\[=158,5-4\cdot40,9\cdot3,1+6\cdot10,9\cdot3,1^{2}-3\cdot3,1^{4}=2,7777.\]
