Условие

Доказать, что центральный момент третьего порядка связан с начальными моментами равенством

$$\mu_3=v_3-3v_1v_2+2v_1^3.$$

Решение. По определению центрального момента,

$$\mu_3=M[Х-М(Х)]^3.$$

Используя свойства математического ожидания и учитывая, что \(М (X) \) есть постоянная величина, получим

$$\mu_3= М[X^3-3X^2*M(X)+3X*M^2(X)-M^3(X)]=$$

$$=M(X^3)-3M(X)*M(X^2)+3M^2(X)*M(X)-M[M^3(X)]=$$

$$=M(X^3)-3M(X)*M(X^2)+3M^3(X)-M^3(X)=$$

$$=M(X^3)-3M(X)*M(X^2)+2M^3(X) .(*)$$

По определению начального момента,

\(V_1 = М (X),\)\( V_2 =М (X^2),\)\( V_3 = М (X^3).(**)\)

Ответ:

Подставив (*) в (**), окончательно получим

$$\mu_3=v_3-3v_1v_2+2v_1^3.$$

---