Условие. Устройство состоит из 10 незвависимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время \(T\) равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом (математическим ожиданием) отказов за время \(T\) окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.
Решение. а) Обозначим через \(X\) дискретную случайную величину - число отказавших элементов за время \(T\). Тогда
                                          \[M(X)=np=10\cdot0,05=0,5;\]
                                          \[D(X)=npq=10\cdot0,05\cdot0,95=0,475.\]
 Воспользуемся неравенством Чебышева:
                                  \[P(|X-M(X)|<\xi)\geq1-D(X)/\xi^{2}.\]
Поставив сюда \(M(X)=0,5;\)  \(D(X)=0,475;\) \(\xi=2,\)", получим
                                   \[P(|X-0,5|<2)\geq1-0,475/4=0,88.\]
 б) События \(|X-0,5|<2\) и \(|X-0,5|\geq2\) противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно, 
                                \[P(|X-0,5|\geq2)\leq1-0,88=0,12.\]

---