Условие. Случайная величина \(X\) задана на всей оси \(Ox\) функцией распределения \(F(x)=1/2+1/\pi)\arctan(x/2)\). Найти возможное значение \(x_{1}\), удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина \(X\) в результате испытания примет значение, большее \(x_{1}\).
Решение. События \(X\leq x_{1}\) и \(X> x_{1}\) - противоположные, поэтому \(P(X\leq x_{1})+P(X>x_{1})=1.\).

Следовательно, \(P(X\leq x_{1})=1-P(X>x_{1})=1-1/4=3/4.\).

Так как \(P(X=x_{1})=0,\), то \[P(X\leq x_{1})=P(X=x_{1})+P(X<x_{1})=P(X-x_{1})=3/4.\]
По определению функции распределения, 
                               \[P(X<x_{1})=F(x_{1})=1/2+1/\pi)\arctan(x_{1}/2).\]
Следовательно, 
\(1/2+(1/\pi)\arctan(x_{1}/2)=(3/4),\) или \(\arctan(x_{1}/2)=\pi/4.\).
Отсюда \(x_{1}/2)=1\), или \(x_{1}=2.\)

---