Условие

Найти спектральную плотность стационарной случайной функции \(Х (t), \)зная ее корреляционную функцию \(k_x(\tau) =1-\mid\tau\mid\) при \(\mid\tau\mid\leq 1; \)корреляционная функция равна нулю при \( \mid\tau\mid> 1. \)

Решение. Используя формулу

$$S_x(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\propto} k_x(\tau)\cos\omega\tau d\tau$$

и учитывая, что \(\mid\tau\mid=\tau\) в интервале (0, 1), имеем

\(s_x(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1} (1-\tau)\cos\omega\tau d\tau.\)

Интегрируя по частям, окончательно получим

Ответ:

$$s_x(\omega)=2\sin^2(\omega/2)/\pi\omega^2.$$

---