Задание. Найти предел последовательности
$$\large \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{n^6-6n^4+1}-n^2 \right).$$
Решение.
$$\large \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{n^6-6n^4+1}-n^2 \right)=\infty-\infty$$
Получаем неопределенность вида ∞ − ∞. Поэтому умножаем и делим, на выражение,
дополняющее до полного куба (чтобы избавиться от кубического корня):
$$\large \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(\sqrt[3]{n^6-6n^4+1}-n^2)((n^6-6n^4+1)^{2/3}+n^4+n^2\sqrt[3]{n^6-6n^4+1)}}{(n^6-6n^4+1)^{2/3}+n^4+n^2\sqrt[3]{n^6-6n^4+1}}$$
Упрощаем по формуле разности кубов:
$$\large \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-6n^4+1}{(n^6-6n^4+1)^{2/3}+n^4+n^2\sqrt[3]{n^6-6n^4+1}}=\frac{\infty}{\infty}$$
Получаем неопределенность вида ∞/∞. Делим числитель и знаменатель на старшую степень \(n^4\):
$$\large \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-6+\frac{1}{n^4}}{(1-\frac{6}{n^2}+\frac{1}{n^6})^{2/3}+1+\sqrt[3]{1-\frac{6}{n^2}+\frac{1}{n^6}}}=\frac{-6}{1+1+1}=-2$$
Мы учитываем, что \(1/n^p\rightarrow 0\), n → ∞ (p > 1 – число, степень).
