Вычислить $$\large \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+1} \right) $$ Это неопределенность типа \(\large \infty-\infty\). Для раскрытия неопределенности умножим и разделим исходное выражение на сопряженное ему $$\large \left(\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+1} \right)$$ Получим $$\large \large \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+1} \right)=$$ $$\large =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+1} \right)\cdot \left(\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+1} \right)}{\sqrt{x^24x+1}+\sqrt{x^2+1}}=$$ $$\large =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+1}}.$$ Избавившись от неопределенности \(\large \infty-\infty\) мы получили другую неопределенность \(\large \frac{\infty}{\infty}\).С такой неопределенностью мы уже разбирались в предыдущем примере. Разделим и числитель, и знаменатель на максимальную бесконечность . Получим $$\large \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4}{\frac{\sqrt{x^2+4x+1}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}$$ Внося в знаменателе под корни, получим: $$\large \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4}{\sqrt{1+4/x+1/x^2}+\sqrt{1+1/x^2}}=\frac{4}{2}=2.$$ Ответ:2.
