ЗАДАНИЕ. Доказать, что $$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a$$ (указать N (ε ) ).
$$\large a_n=\frac{n-2}{4+3n},a=\frac{1}{3}.$$
РЕШЕНИЕ:
Нужно показать, что для любого ε > 0 найдется такое N (ε ) , что для всех n> N будет
выполнено \(\left|a_n-a \right|< \varepsilon .\) Получаем:
$$\left|a_n-a \right|=\left|\frac{n-2}{4+3n}-\frac{1}{3} \right|< \varepsilon ,$$
$$\large \left|\frac{3n-6-4-3n}{(4+3n)3} \right|<\varepsilon ,$$
$$\large \left|\frac{-10}{(4+3n)3} \right|< \varepsilon ,$$
$$\large \left|\frac{1}{(4+3n)} \right|< \varepsilon\frac{3}{10} ,$$
$$\large 4+3n> \frac{1}{\varepsilon \frac{3}{10}} ,$$
$$\large 3n> \frac{10}{3\varepsilon }-4,$$
$$\large n> \frac{10}{9\varepsilon }-\frac{4}{3},$$
$$\large N(\varepsilon )=\left[\frac{10}{9\varepsilon }-\frac{4}{3} \right]$$
при ∀n > N(ε ) выполняется неравенство \(\large \left|a_n-a \right|< \varepsilon ,\), следовательно $$ \large \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n-2}{4+3n}=\frac{1}{3}.$$

---

---