ЗАДАНИЕ. Доказать, что \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a (указать N (ε ) ).
\large a_n=\frac{n-2}{4+3n},a=\frac{1}{3}.
РЕШЕНИЕ:
Нужно показать, что для любого ε > 0 найдется такое N (ε ) , что для всех n> N будет
выполнено \left|a_n-a \right|< \varepsilon . Получаем:
\left|a_n-a \right|=\left|\frac{n-2}{4+3n}-\frac{1}{3} \right|< \varepsilon ,
\large \left|\frac{3n-6-4-3n}{(4+3n)3} \right|<\varepsilon ,
\large \left|\frac{-10}{(4+3n)3} \right|< \varepsilon ,
\large \left|\frac{1}{(4+3n)} \right|< \varepsilon\frac{3}{10} ,
\large 4+3n> \frac{1}{\varepsilon \frac{3}{10}} ,
\large 3n> \frac{10}{3\varepsilon }-4,
\large n> \frac{10}{9\varepsilon }-\frac{4}{3},
\large N(\varepsilon )=\left[\frac{10}{9\varepsilon }-\frac{4}{3} \right]
при ∀n > N(ε ) выполняется неравенство \large \left|a_n-a \right|< \varepsilon ,, следовательно \large \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n-2}{4+3n}=\frac{1}{3}.