ЗАДАНИЕ. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов.
$$\int_{C}\frac{4}{(z^2+4)^2}dz,C\left\{z:\left|z-i \right| =2\right\}.$$
РЕШЕНИЕ:
$$z-i=xiy-i=x+(y-1)i$$
$$\left|z-i \right|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}=2$$
Таким образом \(C:x^2+(y-1)^2=4\) окружность с центром в точке T[0;1] и радиусом
R = 2 .
$$f(z)=\frac{4}{(z^2+4)^2}=\frac{4}{(z+2i)^2(z-2i)^2}$$
Точка \(z=-2i\) находится вне контура, а точка \(z=2i\) - внутри контура. Значит
$$res f(2i)=\lim_{z\rightarrow 2i}\frac{d}{dz}\left\{\frac{(z-2i)^24}{(z+2i)^2(z-2i)^2} \right\}=\lim_{z\rightarrow 2i}-\frac{8}{(z+2i)^3}=-\frac{8}{(4i)^3}=\frac{1}{8i}=-\frac{1}{8i}.$$
Согласно основной теореме вычетах, получим:
$$\int_{C}{\frac{4}{(z^2+4)^2}}dz=-2\pi i\frac{1}{8}i=\frac{\pi}{4}.$$

---

---