Задание. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подинтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав почленно
$$\int_{0}^{0,25}\frac{sinx}{x}dx$$
Решение. Воспользуемся известным разложением
$$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$
и получим, что
$$\frac{sinx}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+...$$
Тогда
$$\int_{0}^{0,25}\frac{sinx}{x}dx=\int_{0}^{0,25}{(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+...)dx}=\left(x-\frac{x^3}{18}+\frac{x^5}{600}-\frac{x^7}{35280}+... \right) \mid ^{0,25}_0=0,25-0,0009+...\approx 0,25.$$
Все члены, начиная с 0,0009, можно отбросить, при этом погрешность вычислений не превысит 0,001 (так в знакочередующемся ряде погрешность не превосходит по модулю первого отброшенного члена).

---

---