Задание. Найти область сходимости указанного ряда. Ответ записать в виде промежутков и их объединений.
$$\sum_{n=1}^{\infty}8^nx^{3n}sin(x/n)$$
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left|a_{n+1} \right|}{\left|a_n \right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{8^{n+1}x^{3n+3}sin(x/(n+1))}{8^nx^{3n}sin(x/n)} \right|=\left|8x^3 \right|\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}=\left|8x^3 \right|\prec 1$$
следовательно, при |x| < 1/2 ряд сходится, при |x| > 1/2 - расходится. В точках x = 1/2, −1/2 исследуем сходимость дополнительно. 1. При x = 1/2 ряд принимает вид: $$\sum_{n=1}^{\infty}sin\left(\frac{1}{2n} \right)$$
По признаку сравнения получаем:
$$\sum_{n=1}^{\infty}sin\left(\frac{1}{2n} \right)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n}$$
а этот ряд расходится как гармонический. Следовательно расходится и наш исходный ряд. (Мы воспользовались неравенством sin α ≥ α/2 при 0 < α ≤ α0 = π/3 - при больших n оно, очевидно, выполняется.)
2. При x = −1/2 ряд принимает вид: $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}sin\left<\frac{1}{2n} \right>$$
Этот ряд сходится по признаку Лейбница для знакопеременных рядов, т.к.
$$sin\left(\frac{1}{2n+2} \right)\prec sin\left(\frac{1}{2n} \right).\lim_{n\rightarrow \infty}sin\left(\frac{1}{2n} \right)=0$$ Область сходимости ряда: [−1/2, 1/2).
