ЗАДАНИЕ. Разложить в ряд по степеням x (с указанием области сходимости ряда) $$y=e^xcosx.$$ РЕШЕНИЕ: По формуле Тейлора $$y(x)=y(0)+\frac{y'(0)}{1!}x+\frac{y''(0)}{2!}x^2+...+\frac{y^{(n)}(0)}{n!}x^n$$ Вычисляем: $$y=e^xcosx,y(0)=e^xcosx=1$$ $$y'=(e^xcosx)'=e^x(cosx-sinx),y'(0)=1$$ $$y''=(e^x(cosx-sinx))'=e^x(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2e^xsinx,y''(0)=0$$ $$y'''=(-2e^xsinx)'=-2e^x(sinx+cosx),y'''(0)=-2$$ $$y^{(4)}=(-2e^x(sinx+cosx))'=-2e^x(sinx+cosx+cosx-sinx)=-4e^xcosx,y^{(4)}(0)=-4$$ Получаем: $$y(x)=1+x+\frac{0}{2!}x^2+\frac{-2}{3!}x^3+\frac{-4}{4!}x^4+...+\frac{y^{(n)}(0)}{n!}x^n+...=1+x-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{6}x^4+...+\frac{y^{(n)}(0)}{n!}x^n+...$$ Здесь $$y^{(n)}(0)=\begin{cases} (-1)^k4^k, & n=4k \\ (-1)^k4^k,& n=4k+1 \\ 0,& \text{} n=4k+2 \\ (-1)^{k+1}\cdot2\cdot 4^k, & n=4k+3 \end{cases}$$ То есть общий член ряда можно оценить как\(\large \left|a_k \right|\leq \frac{2\cdot 4^k}{(4k)!}\) . Найдем радиус сходимости: Вычисляем предел: $$R=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2\cdot 4^n\cdot (4n+4)!}{(4n)!\cdot 4}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(4n)!(4n+1)(4n+2)(4n+3(4n+4)}{(4n)!\cdot 4}=\infty.$$ То есть область сходимости полученного ряда – вся числовая прямая.
