ЗАДАНИЕ. Исследовать на сходимость ряд
$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(3n-5)ln^2(4n-7)}}$$
РЕШЕНИЕ:
Сравним данный ряд с рядом $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(4n-7)ln^2(4n-7)}}.$$ Так как
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{(3n-5)ln^2(4n-7)}:\frac{1}{(4n-7)ln^2(4n-7)} \right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n-5}{4n-7}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3-5/n}{4-7/n}=\frac{3}{4}\neq 0,\infty.$$
то если ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(4n-7)ln^2(4n-7)}}$$ сходится, то исходный также сходится по предельному признаку сравнения.
Исследуем ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(4n-7)ln^2(4n-7)}}$$
Используем интегральный признак Коши. Рассмотрим соответствующий несобственный интеграл $$ \int_{3}^{\infty}{\frac{dx}{(4x-7)ln^2(4x-7)}}$$ от положительной убывающей функции.
Исследуем его сходимость.
$$\int_{3}^{\infty}{\frac{dx}{(4x-7)ln^2(4x-7)}}=\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{3}^{A}{\frac{dx}{(4x-7)ln^2(4x-7)}}=\frac{1}{4}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{3}^{A}{\frac{d(ln(4x-7))}{ln^2(4x-7)}}=\left[\int \frac{dy}{y^2}=-\frac{1}{y} \right]=$$ $$= \frac{1}{4}\lim_{A\rightarrow \infty} \left(-\frac{1}{ln(4x-7)} \right)\bigg|_3^A=\frac{1}{4}\lim_{A\rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{ln(4A-7)}+\frac{1}{ln(12-7)} \right)=\frac{1}{4ln5}< \infty.$$
Интеграл сходится, значит, исходный ряд также сходится.
