ЗАДАНИЕ. Используя ряд Маклорена для функции, выразить величину \(\large A=\sqrt[3]{36}\) в виде
сходящегося ряда. Найти приближенное значение этой величины, ограничиваясь двумя
первыми членами ряда. Оценить погрешность.
РЕШЕНИЕ:
Представим \(\large A=\sqrt[3]{36}\) в следующем виде:
$$\large A=\sqrt[3]{36}=\sqrt[3]{27+9}=\sqrt[3]{27(1+1/3)}=3\sqrt[3]{1+1/3}.$$
Используем разложение в ряд Маклорена:
$$\large f(x)=a\sqrt[3]{1+x}=a\left(1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{81}x^3-... \right)$$
Получаем:
$$\large A=3\sqrt[3]{1+1/3}=3\left(1+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3} \right)-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{9} \right) +\frac{5}{81}\left(\frac{1}{27} \right)-...\right)=3\left(1+\frac{1}{9}-\frac{1}{81} +\frac{5}{2187}-...\right)=$$
$$=3+\frac{1}{3}-\frac{1}{27}+\frac{5}{729}-...\approx 3+\frac{1}{3}\approx 3,33.$$
Так как ряд знакочередующийся, погрешность не превосходит (по модулю) первого
отброшенного члена:
$$\large \left|\epsilon \right|\leq \frac{1}{27}\approx 0,037.$$

---

---