ЗАДАНИЕ. Исследовать сходимость числового ряда
$$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2n+1}{\sqrt{n2^n}}.}$$
РЕШЕНИЕ:
Запишем ряд в следующем виде: $$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2n+1}{\sqrt{n2^n}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2n+1}{2^{n/2}\sqrt{n}}}.$$Используем признак Даламбера.
Получаем:
$$D=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2(n+1)+1)2^{n/2}\sqrt{n}}{(2n+1)2^{(n+1)/2}\sqrt{n+1}}=$$
$$=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(2n+3)\sqrt{n}}{(2n+1)2^{1/2}\sqrt{n+1}}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{2n+3}{2n+1} \right)\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{n}{n+1}}=$$
$$=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{2+3/n}{2+1/n} \right)\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{1}{1+1/n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Так как предел \(D=\frac{1}{\sqrt{2}}< 1,\) ряд сходится.

---

---