ЗАДАНИЕ. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
$$\large \int_{1}^{\infty }{\frac{sinx}{x}}dx$$
РЕШЕНИЕ:
Это несобственный интеграл с бесконечным пределом, подынтегральная функция \(\large f(x)=\frac{sinx}{x},\) которая меняет знак. Поэтому используем признак Дирихле.
Признак Дирихле. Пусть
1) функция f(х) интегрируема в любом конечном промежутке [a;A], A >a , и
интеграл оказывается ограниченным:
$$\large \left|\int_{a}^{A}{f(x)dx} \right|\leq K,K=const,a\leq A\leq \infty.$$
2) функция g(х) монотонно стремиться к нулю при x → ∞ : $$\large \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=0.$$
Тогда интеграл \(\large \int_{a}^{\infty}{f(x)g(x)dx}\) сходится.
Положим \(\large f(x)=\frac{sinx}{x}=\varphi (x)\psi (x),\) где \(\large \varphi (x)=\frac{1}{x}\rightarrow 0,x\rightarrow \infty\) и \(\large \psi (x)=sinx,\) первообразная ограничена \(\large \Psi (x)=\int sinxdx=-cosx.\) Значит, этот интеграл сходится.
ОТВЕТ: сходится.

---

---