Доведіть за допомогою методу математичної індукції.
Рішення
$$\large 2^{3n+3}-7n+41$$
ділиться на 49
$$\large n=1: 2^{3\cdot1+3}-7\cdot1+41=64-7+41=98$$
ділиться на 49.
Припустимо, що ця умова виконується при n=k, тобто
$$\large 2^{3k+3}-7k+41$$
ділиться на 49.
Доведемо, що ця умова виконується і при \(n=k+1,\)
тобто
$$\large 2^{3(k+1)+3}-7(k+1)+41=$$
$$\large =2^{3k+6}-7k-7+41=$$
$$\large =2^3\cdot2^{3k+3}-7k+41-7=$$
$$\large =8\cdot2^{3k+3}-7k+41-7=$$
$$\large =8(2^{3k+3}-\frac{7}{8}k+\frac{41}{8})-7=$$
$$\large =8(2^{3k+3}-7k+41 +6\frac{1}{8}k-\frac{287}{8})-7=$$
$$\large =8(2^{3k+3}-7k+41) +49k-287-7=$$
$$\large =8(2^{3k+3}-7k+41) +49k-294=$$
$$\large =8(2^{3k+3}-7k+41) +49(k-6).$$
Оскільки
$$\large (2^{3k+3}-7k+41)\vdots 49$$
і
$$\large 49(k-6)\vdots 49,$$
то при \(n=k+1\) умова виконується. Отже, цей вираз ділиться на 49.
