Доведіть за допомогою методу математичної індукції.

Рішення

$$\large 1*1!*2*2!\cdots+n*n!=$$

$$\large =(n+1)!+1$$

$$\large n=1:1!=(1+1)!-1$$

- правильно.

Припустимо, що задана нерівність виконується при \(n=k\), тобто

$$\large1*1!*2*2!\cdots+k*k!=$$

$$\large =(k+1)!-1$$

Доведемо, що ця нерівність виконується при \(n=k+1\).

$$\large1*1!*2*2!\cdots+k*k!+(k+1)(k+1)!=$$

$$\large=(k+2)!-1$$

Оскільки

$$\large1*1!*2*2!\cdots+k*k!=(k+1)!-1,$$

то

$$\large 1*1!*2*2!\cdots+k*k!+(k+1)(k+1)!=$$

$$\large=(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=$$

$$\large=(k+1)!-1+(k+2-1)(k+1)!-1+$$

$$\large+(k+2)(k+1)!-(k+1)!=$$

$$\large=(k+2)!-1.$$

Отже, дана рівність правильна.

---

---