Доведіть за допомогою методу математичної індукції.

Рішення

\(\large 9^n-8^n-1\), ділиться на \(\large 16\).

При n=1

\(\large 9^1-8\cdot1-1=0. 0\) кратне \(\large 16.\)

Отже, при \(n=1\) даний вираз ділиться на 16. Припустимо, що дана умова виконується при n=k, тобто

\(\large (9^k-8k-1)\) кратне \(\large 16.\)

Доведемо, що дана умова виконується і при \(n=k+1\), тобто

\(\large (9^{k+1}-8\cdot(k+1)-1)\) кратне \(\large 16\).

$$\large 9^{k+1}-8\cdot(k+1)-1=$$

$$\large =9\cdot9^k-8k-8-1=$$

$$\large =9\cdot9^k-8k-9=$$

$$\large =9\cdot(9^k-8k-1)+64k.$$

Оскільки

\(\large 9\cdot(9^k-8k-1)\) кратне \(\large 16.\)

i

\(\large 64k\) кратне \(\large 16.\)

то

\(\large (9^{k+1}-8\cdot(k+1)-1)\) кратне \(\large 16.\)

Отже, цей вираз \(9^n-8n-1\) ділиться на 16.

---

---