Вот вспомнил, вдруг ещё пару задачек, которые давали на собеседовании при поступлении в физмат школу при НГУ (Новосибирском ГосУнивере), задачки я те тогда решил, но вот в школу не пошёл, ибо учился уже в технаре, ну так вот:
1. Кризис у нас в стране закончился, государство стало подарки делать, пока правда пенсионерам, но и то хорошо. Построили значит гараж кооперативный, большой и просторный, Досталось место в этом гараже и бабке Авдотье с дедом Трофимом (на кой им гараж, ежели уних машины нет? Зато будет где соленья хранить.), только строили, черт знает как, все выключатели на один пульт вывели (мол, сторож будет контролировать, вдруг кто забудет выключить), а подписать-то забыли. И вот тебе задача, свой гараж то далеко шибко туда-обратно не побегаешь (старость - она как понимаете не радость), а выключатель найти надо. Как бы старикам, найти свой выключатель затратив меньше всего сил на перебежки?
2. Имеется матрица 5х5. Необходимо её заполнить целыми, натуральными числами (возможны повторения), таким образом, чтобы сумма в каждом столбце была чётной, а в каждой строке нечётной. Задача стандартная для математики, найти все возможные решения и доказать, что других решений нет.
Задачки добавлены Fireleo. Решения можно писать прямо в комментариях. Решения оценивает Fireleo, определяет победителя, и добавляет баллы в репутацию. Если задачи вам понравились, можете повысить репутацию автору задач (Администрация). Оценка правильности решений будет выставлена через четыре дня после публикации задач. Примечание: указывайте номер задачи при решении.
начало как и было у DoVe
начнем с того какие варианты построения четных и нечетных чисел из суммы 5 чисел.
для нечетной суммы: 2 четных + 3 нечетных; 4 четных + 1 нечетное; все нечетные
для четной суммы: 2 нечетных + 3 четных; 5 нечетных + 1 четное; все четные.
только мы примем четное часло за "а" и нечетное за "в"
тогда получится система равенств, если равенство будет равно, то значит можно, если не равно, то нельзя, т.е. вариантов для построения 0.
получается следующее:
2а+3в=2в+3а
2а+3в=5в+1а
и
4а+1в=2в+3а
4а+1в=5в+1а
проверить можно подставив к примеру нужные числа место этих букв
А помошник зафиксирует момент включения лампы и узнает номер выключателя.
а если найти сумму суммы всех солбцов, то получим четное число (сумма 5 четных чисел).
Но и та и другая суммы - суть сумма всех элементов матрицы. Пришли к противоречию.
вариант наверно немного странный, но всё же.
начнем с того какие варианты построения четных и нечетных чисел из суммы 5 чисел.
для нечетной суммы: 2 четных + 3 нечетных; 4 четных + 1 нечетное; все нечетные
для четной суммы: 2 нечетных + 3 четных; 5 нечетных + 1 четное; все четные.
соответственно если использовать такие варианты для построения четных сумм в столбцах и нечетных в строках мы получим общее количество четных и нечетных чисел для всей матрицы:
1) для того чтобы в каждом столбце сумма была четной - общее количество четных чисел должно быть одно из (25, 23, 21...5), а соответственно общее количество нечетных одно из (0, 2, 4...20).
2) для того чтобы в каждой строке сумма была нечетной - общее количество нечетных чисел в матрице должно быть одно из (25, 23, 21...5), а соответственно общее количество четных одно из (0,2,4...20).
эти условия выполняться одновременно не могут. соответственно если следовать такому принципу то итоговых вариантов для построения данной матрицы - 0.