Приклад . Дослiдити на збiжнiсть ряд
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!a^n}{n^n}$$
де а>0.
Розв’язання. Оскiльки
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n+1}{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{(n+1)!a^{n+1} \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}n! \cdot a^n}= \lim_{n \rightarrow \infty }\frac{(n+1)a \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}}=\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{a}{e}$$
то за ознакою Д’Аламбера (у граничнiй формi) при 0 < a < e ряд збiгається, а при a > e ряд розбiгається. При a = e ряд потребує додаткового дослiдження, яке можна провести, скориставшись формулою Стiрлiнга. А саме врахувавши, що при
$$n\rightarrow \infty, n!=n^ne^{-n}\sqrt{2 \Pi n}$$
маємо, що при a = e
$$\lim_{n\rightarrow \infty }a_n= \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{2 \Pi n}$$
тобто не виконується необхiдна умова збiжностi.
