Пример 1: Решить уравнение $$\sqrt3 sin5x – \sqrt3 sinx = cos24x· cos x + 2 cos5x – 6.$$ Решение:
Оценим, используя метод вспомогательного угла, выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения.
1) $$2\sqrt3 sin5x-2cos5x=\sqrt{(2\sqrt3)^2+(-2)^2}$$ $$(\frac{\sqrt3}{2}sin5x-\frac{1}{2}cos5x)=-\sqrt{12+4}cos(\frac{\pi }{3}+5x)=-4cos(\frac{\pi }{3}+5x)$$
2) $$cos24x\;cosx=\sqrt3sinx-6=\sqrt{(\sqrt3)^2+(cos24x)^2}=\sqrt{3+cos^224x} \; (cos a \;cosx+sin a\; sinx)$$ Таким образом, левая часть 4, а правая часть -4. Их равенство возможно только при выполнении условия: $$4cos(\frac{\pi }{3}+5x)=-4$$ $$\sqrt{3+cos^224x}cos(a-x)-6=-4$$ Решив эти уравнения, получим, что $$x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$$
Пример 2 Решить уравнение $$\sqrt3sin3x-cos3x=1$$ Решение:
Здесь $$a=\sqrt3, \; b=-1$$ Поэтому делим обе части на $$\sqrt{3+1}=2$$ Получаем $$(\frac{\sqrt3}{2})sin3x-\frac{1}{2}cos3x=\frac{1}{2}$$ $$cos\frac{\pi }{6}sin3x-sin\frac{\pi }{6}cos3x=\frac{1}{2}$$ $$sin(3x-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$$ Отсюда $$x=(-1)^k \;, \frac{\pi }{18}+\frac{\pi }{18}+\frac{\pi k}{3}$$

---