Завдання

Знайти загальний розв'язок рівняння: $$y''=\frac{1}{\cos^2x}$$
та його частинний розв'язок, який задовольняє початкові умови $$y\left(\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\ln 2}{2},\;y'\left(\frac{\pi}{4} \right)=1.$$
Розв'язання:
Маємо задачу Коші для диференціального рівняння другого порядку \(y''=\frac{1}{\cos^2x}\) вигляду \(y^{(n)}=f(x),\) де \(n=2, \;f(x)=\frac{1}{\cos^2x}.\)

Розв'язуємо задане рівняння послідовним інтегруванням його лівої та правої частин. Інтегруючи перший раз, маємо: $$y'=\tan x+C_1.$$
Повторне інтегрування дає загальний розв'язок: $$y=-\ln|\cos x|+C_1x+C_2.$$
Знайдемо \(С_1,\;С_2\), скориставшись початковими умовами. Покладемо у виразах, що визначають \(у\) та \(y',x=\frac{\pi}{4}\).
Отримаємо систему для визначення сталих \(C_1,C_2\): $$\begin{cases} & \frac{\ln 2}{2}=-\ln \left|\cos\frac{\pi}{4} \right|+C_1\frac{\pi}{4}+C_2, \\ & 1=\tan \frac{\pi}{4}+C_1, \end{cases}\; \begin{cases} & \frac{\ln 2}{2}=-\ln \frac{\sqrt2}{2}+C_1\frac{\pi}{4}+C_2, \\ & 1=1+C_1, \end{cases}$$ $$\begin{cases} & \frac{\ln 2}{2}=-\left (\frac{1}{2}\ln 2-\ln2 \right)+C_2, \\ & C_1=0, \end{cases}\;\begin{cases} & \frac{\ln 2}{2}=\frac{\ln2}{2}+C_2, \\ & C_1=0 , \end{cases}\;\begin{cases} & C_2=0, \\ & C_1=0. \end{cases}$$

Отже, частинний розв'язок заданого рівняння, що задовольняє задані початкові умови має вигляд: $$y =-\ln|\cos x|.$$


2012-12-20 • Просмотров [ 1022 ]