$$\large y'=f(x,y)$$
називають однорiдним, якщо його права частина є однорiдною функцiєю нульового степеня, тобто якщо для всiх
λ > 0 f(λx, λy) = f(x, y).  Покажемо, що однорiднi рiвняння зводяться до рiвнянь з вiдокремленими змiнними. Справдi, якщо взяти λ = 1 /x , то дiстанемо рiвнiсть 
$$\large f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})$$
i рiвняння  запишеться у виглядi 
$$\large y'=f(1,\frac{y}{x})$$
Вводимо замiну
\(\large z=\frac{y}{x}\) або  y = z · x.
Тодi \(\large z'=z'x+z\), i рiвняння  матиме вигляд
$$\large z'x+z=f(1,z)$$
або 
$$\large \frac{dz}{f(1,z)-z}=\frac{dx}{x}$$
Це вже рiвняння з вiдокремленими змiнними i
$$\large \int\frac{dz}{f(1,z)-z}=ln\left|x \right|+C$$
його загальний iнтеграл. Розглянемо рiвняння x = 0, f(1, z) − z = 0. Перше визначає розв’язок рiвняння 
xdz = (f(1, z) − z)dx 
i може виявитись розв’язком рiвняння 
$$\large \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f(1,\frac{y}{x})}$$
Тодi пiсля виключення початку координат вiн має бути приєднаним до розв’язкiв рiвняння. Якщо рiвняння
f(1, z)−z = 0 має дiйснi розв’язки виду z = α, то їм вiдповiдають розв’язки y = αx \(\large (x\neq 0)\) однорiдного рiвняння. Цi пiвпрямi, як i пiвосi Oy, можуть виявитись особливими розв’язками. Коли диференцiальне рiвняння подано у симетричнiй формi , то воно буде однорiдним, якщо функцiї P(x, y) i Q(x, y) є однорiдними одного степеня


2015-06-06 • Просмотров [ 262 ]