Дифференциальное уравнения в полных дифференциалах

Дифференциаьное уравнение \(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,\) , где \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\) называется уравнением в полных дифференциалах, т.е. левая часть такого арвнения есть полный дифференциал некоторой функции \(u(x,y)\) в односвязаной области. Если это уравнение переписать в виде \(du=0\) , то его общее решение определяется равенством \(u=C\). Функция \(u(x,y)\) может быть найдена по формуле
$$u=\int_{x_0}^{x}{P(x,y)dx}+\int_{y_0}^{y}{Q(x_0,y}dy.$$
При этом в последней формуле нижние пределы интегралов (\(x_0\) и \(y_0\)) произвольны; их выбор ограничен единственным условием - интегралы в правой части этой формулы должны иметь смысл (т.е. не быть расходящимися несобственными интегралами второго рода).

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения
$$(x \cos y-y\sin y)dy+(x\sin y+y\cos y)dx=0.$$
Имеем
$$P(x,y)=x\sin y+y\cos y=0, Q(x,y)=x \cos y-y\sin y$$
$$\frac{\partial P}{\partial y}=x\cos y+\cos y-y\sin y, \frac{\partial Q}{\partial x}=\cos y,$$
$$(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})/Q=\frac{x\cos y-y\sin y}{x\cos y-y\sin y}=1.$$
Поэтому данное уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от \(x\). Найдем этот интегрирующий множитель:
$$_{\mu =e}\int (\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})/Qdx=_e\int dx=e^x$$
Умножая исходное уравнение на \(e^x\), получим уравнение
$$e^x(x\cos y-\sin y)dy+e^x(x\sin y+y\cos y)dx=0,$$
которое, как нетрудно убедиться, уже является уравнением в полных дифференциалах; в самом деле, имеем
$$P_1(x,y)=e^x(x\sin y+y\cos y), Q_1(x,y)=e^x(x\cos y-\sin y) .$$
Отсюда
$$\frac{\partial P_1}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left[e^x(x\sin y+y\cos y) \right]=e^x(x\cos y+\cos y-y\sin y);$$
$$\frac{\partial Q_1}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left[e^x(x\cos y-\sin y) \right]=e^x(x\cos y-y\sin y+\cos y).$$
Эти производные равны и, следовательно, левая часть полученного уравнения имеет вид \(du(x,y)\). Таким образом
$$\frac{\partial u}{\partial y}=e^x(x\cos y-\sin y) , \frac{\partial u}{\partial x}=e^x(x\sin y+y\cos y).$$
Интегрируя первое из этих равенств по \(y\), находим
$$u=\int e^x(x\cos y-y\sin y)dy+C(x)=xe^x\sin y+e^xy\cos y-e^x\sin y+C(x).$$
найдем производную по \(x\) от полученной функции:
$$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\sin y+xe^x\sin y-e^x\sin y+e^xy\cos y+C^{'}(x)=e^x(x\sin y+y\cos y)+C^{'}(x).$$
Сравнивая найденное значение \(\frac{\partial u}{\partial x}\) с \(P(x,y)\), получим \(C^{'}(x)=0\) т.е. \(C^(x)=0\).
Следовательно, общий интеграл исходного уравнения имеет вид
$$u(x,y)=xe^x\sin y+e^xy\cos y-e^x\sin y=C$$
или
$$e^x(\sin y+y\cos y-\sin y)=C.$$

Пример 2. Найти общий интеграл уравнения
$$(e^x+y+\sin y)dx+(e^y+x+x\cos y)dy=0.$$
Здесь
$$P(x,y)=e^x+y+\sin y, Q(x,y)=e^y+x+x\cos y,\frac{\partial P}{\partial y}=1+\cos y,\frac{\partial Q}{\partial x}=1+\cos y.$$
Следовательно, левая часть уравнения есть полные дифференциал некоторой функции \(u(x,y)\), т.е./div>
$$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x+y+\sin y,\frac{\partial u}{\partial y}=e^y+x+x\cos y.$$
Проинтегрирует \(\frac{\partial u}{\partial x}\) по \(x\):
$$u=\int (e^x+y+\sin y)dx+C(y)=e^x+xy+x+\sin y+C(y).$$
Найдем функцию \(C(y)\), продиффернцировав последнее выражение по \(y\):
$$\frac{\partial u}{\partial y}=x+x\cos y+C^{'}(y).$$
Получем уравнение
$$x+x\cos y+C^{'}=x+x\cos y+e^y,$$
откуда находим \(C^{'}(y)=e^y\) т.е. \(C(y)=e^y\). Тками образом, общий интеграл уравнения имеет вид \(e^x+xy+x\sin y+e^y=C.\)

Пример 2. Найти общий интеграл уравнения
$$(x+y-1)dx+(e^y+x)dy=0.$$
Здесь
$$P(x,y)=x+y-1, Q(x,y)=e^y+x, \frac{\partial P}{\partial y}=1, \frac{\partial Q}{\partial x}=1;$$
таким образом, условие полного дифференциала выполнено, т.е. данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем общий интеграл по формуле
$$\int_{x_0}^{x}{P(x,y)dx}+\int_{y_0}^{y}{Q(x_0,y)dy}=C.$$
Взяв \(x_0=0,y_0=0,\) получим
$$\int_{0}^{x}{(x+y-1)dx}+\int_{0}^{y}{e^ydy=C_1}$$
или
$$\left[\frac{1}{2}x^2+xy-x \right]_0^x+e^y\mid _0^y=C_1$$
Подставляя пределы, находим
$$\frac{1}{2}x^2+xy-x+e^y-1=C_1$$
или
$$e^y+\frac{1}{2}x^2+xy-x=C,$$
где \(C=C_1+1.\)


2012-12-16 • Просмотров [ 5110 ]