Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Если известно, что событие \(A\) может произойти вместе с одним из событий \(H_1,H_2,...,H_n\) (гипотез), образующими полную группу попарно несовместных событий, то событие \(A\) можно представить как объединение событий \(AH_1,AH_2,...,AH_n\), т. е. \(A=AH_1,AH_2,...,AH_n.\) Вероятность события А можно определить по формуле
$$P(A)=P(H_1)\cdot P(A/H_1)+P(H_2)\cdot P(A/H_2)+...+P(H_n)\cdot P(A/H_n),$$
или
$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}{P(H_i)\cdot P(A/H_i)}.$$
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Условная вероятность события \(H_i\) в предположении, что событие \(A\) уже имеет место, определяется по формуле Бейеса:
$$P(H_i/A)=\frac{P(AH_i)}{P(A)}=\frac{{P(H_i)\cdot P(A/H_i)}}{\sum_{i=1}^{n}{P(A/H_i)\cdot P(H_i)}}.$$
Вероятности \(P(A/H_i)\), вычисленные по формуле Бейеса, часто называют вероятностями гипотез.

Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором—10 белых и 10 черных ша¬ров, в третьем — 20 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика
Решение. Пусть \(H_1,H_2,H_3\) — гипотезы, состоящие в выборе соответственно первого, второго и третьего ящика; событие \(A\) — появление белого шара. Тогда \(P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=1/3\) (выбор любого из ящиков равновозможен); \(P(A/H_1)=1\) (вероятность извлечения белого шара из первого ящика); \(P(A/H_2)=10/20=1/2\) (вероятность извлечения белого шара из второго ящика); \(P(A/H_3)=0\) (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика).
Искомую вероятность \(P(A/H_1)\) находим по формуле Бейеса:
$$P(A/H_1)=\frac{1\cdot (1/3)}{1\cdot (1/3)+(1/2)\cdot (1/3)+0\cdot (1/3)}=\frac{2}{3}.$$

Пример 2. В ящике имеется \(N\) изделий, среди которых могут быть и бракованные. Вынутое наугад изделие оказалось небракованным. Определить вероятность того, что: все изделия в ящике небракованные; \(N-1\) изделий небракованных и одно изделие бракованное; \(N-2\) изделий небракованных и два изделия бракованных; ...; все \(N\) изделий в ящике бракованные.
Гипотезы до опыта: \(H_0\)—все изделия в ящике небракованные; \(H_1\)— одно изделие бракованное; \(H_2\)— два изделия бракованных; ...; \(H_n\)—все изделия бракованные. Событие \(A\)— появление небракованного изделия. Требуется найти \(P(H_0/A),P(H_1/A),P(H_2/A),...,P(H_N/A).\). Пусть до опыта все гипотезы равновозможны:
$$P(H_0)=P(H_1)=P(H_2)=...=P(H_N)=\frac{1}{N+1},$$
т.е.
$$P(A/H_0)=1, P(A/H_1)=\frac{N-1}{N}, P(H_2)=\frac{N-2}{N},...,P(A/H_{N-1})=\frac{1}{N},P(A/H_{N})=0.$$
Отсюда находим
$$P(H_0/A)=\frac{1\cdot \frac{1}{N+1}}{1\cdot \frac{1}{N+1}+\frac{N-1}{N}\cdot \frac{1}{N+1}+...+\frac{1}{N}\cdot \frac{1}{N+1}+0\cdot \frac{1}{N+1}}=$$
$$=\frac{1}{\frac{1}{N}+\frac{2}{N}+...+\frac{N-1}{N}+1}=\frac{N}{1+2+...+N-1+N}=\frac{2}{N+1}.$$
Аналогично получаем
$$P(H_1/A)=\frac{2}{N+1}\cdot \frac{N-1}{N},P(H_2/A)=\frac{2}{N+1}\cdot \frac{N-2}{N},...,P(H_N/A)=\frac{2}{N+1}\cdot 0=0.$$

Пример 2. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй— 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар — белый.
После того, как из второй урны переложили в первую один шар, в первой урне оказалось две совокупности шаров: 1) 5 белых и 10 черных шаров, первоначально находившихся в этой урне; 2) один шар, переложенный из второй урны. Вероятность появления белого шара из первой совокупности составляет \(P(H_1/A)=5/15=1/3,\) а из второй совокупности\(P(H_2/A)=3/10\). Вероятность того, что произвольно вынутый шар принадлежит первой совокупности, есть \(P(H_1)=5/16\), а второй совокупности \(-P(H_2)=1/16\).
Используя формулу полной вероятности, получим
$$P(A)=P(H_1)\cdot P(A/H_1)+P(H_2)\cdot P(A/H_2)=\frac{15}{16}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{16}\cdot \frac{3}{10}=\frac{53}{160}.$$


2012-12-19 • Просмотров [ 9805 ]