Пример 1. Найти интеграл \(\int \frac{dx}{x^2+6x+25}.\)
$$\int \frac{dx}{x^2+6x+25}=\int \frac{dx}{(x+3)^2+16}=\int \frac{d(x+3)}{(x+3)^2+16}=\frac{1}{4}arctg \frac{x+3}{4}+C.$$
Для понимания, того как решаются примеры, вам понадобится повторить некоторые разделы алгебры за школьный курс. Можно посмотреть к примеру учебник под авторством Мордковича за десятый класс вот здесь.
Пример 2. Найти интеграл \(\int \frac{dx}{2x^2-2x+3}.\)
$$\int \frac{dx}{2x^2-2x+3}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2-x+\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2}-\frac{1}{4})}=$$
$$=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\frac{1}{2})}{(x-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt5}{2})^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt 5}\cdot arctg\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt 5/2}+C=$$
$$=\frac{1}{\sqrt 5}\cdot arctg\frac{2x-1}{\sqrt 5}+C.$$
Пример 3. Найти интеграл \(\int \frac{2x^3+3x}{x^4+x^2+1}dx.\)
Предварительно в этом интеграле произведем замену переменной \(x^2=t\), тогда \(2xdx=dt,xdx=(1/2)dt.\) Следовательно,
$$\int \frac{(2x^3+3)x}{x^4+x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{(2t+3)dt}{t^2+t+1}=\frac{1}{2}\int \frac{(2t+1)+2}{t^2+t+1}dt=$$
$$=\frac{1}{2}\int \frac{2t+1}{t^2+t+1}dt+\int \frac{dt}{t^2+t+1}=\frac{1}{2}\ln (t^2+t+1)+\int \frac{d(t+\frac{1}{2})}{(t+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt 3}{2})^2}=$$
$$=\frac{1}{2}\ln (t^2+t+1)+\frac{2}{\sqrt 3}arctg\frac{t+1/2}{\sqrt 3/2}+C=$$
$$=\frac{1}{2}\ln (x^2+x+1)+\frac{2}{\sqrt 3}arctg\frac{2x^2+1}{\sqrt 3}+C.$$
Пример 4. Найти интеграл \(I_3=\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}.\)
Здесь \(n=3\). После первого применения рекурентной формулы получаем
$$I_3=\frac{1}{2(3-1)}\cdot \frac{x}{(x^2+1)^{3-1}}+\frac{2\cdot 3-3}{2\cdot 3-2}\cdot I_{3-1}=\frac{1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{3}{4}I_2.$$
К интегралу \(I_2=\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}\) снова применяем рекурентную формулу (здесь пологаем \(n=2\)):
$$I_2=\frac{1}{2(2-1)}\cdot \frac{x}{(x^2+1)^{2-1}}+\frac{2\cdot 2-3}{2\cdot 2-2}\cdot I_{2-1}=\frac{1}{2}\frac{x}{x^2+1}+\frac{3}{4}I_1=$$
$$=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1}=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctgx+C.$$
Итак,
$$\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3}{4}\left[\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2} arctgx\right]+C.$$
Окончательно имеем
$$\int \frac{dx}{(x^2+1)^3}=\frac{x}{4(x^2+1)^2}+\frac{3x}{8(x^2+1)}+\frac{3}{8}arctgx+C.$$
Пример 5. Найти интеграл \(\int \frac{3x-1}{x^2+4x+8}dx.\)
$$\int \frac{3x-1}{x^2+4x+8}dx=\int \frac{\frac{3}{2}(2x-4)-1+6}{x^2+4x+8}dx=$$
$$=\frac{3}{2} \int \frac{(2x-4)}{x^2+4x+8}dx+5\int \frac{dx}{x^2+4x+8}=\frac{3}{2}\ln (x^2-4x+8)+5\int \frac{dx}{(x-2)^2+2^2}=$$
$$=\frac{3}{2}\ln (x^2-4x+8)+\frac{5}{2}arctg\frac{x-2}{2}+C.$$
Пример 6. Найти интеграл \(\int \frac{xdx}{2x^2+2x+5}.\)
$$\int \frac{xdx}{2x^2+2x+5}=\int \frac{\frac{1}{4}(4x+2)-\frac{1}{2}}{2x^2+2x+5}dx=\frac{1}{4}\int \frac{4x+2}{2x^2+2x+5}dx-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{2x^2+2x+5}=$$
$$=\frac{1}{4}\ln (2x^2+2x+5)-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int \frac{dx}{2x^2+2x+5/2}=\frac{1}{4} \ln (2x^2+2x+5)-\frac{1}{4}\int \frac{d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=$$
$$=\frac{1}{4}\ln (2x^2+2x+5)-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3/2}arctg\frac{x+1/2}{3/2}+C=$$
$$=\frac{1}{4}\ln (2x^2+2x+5)-\frac{1}{6}arctg\frac{2x+1}{3}+C.$$


2012-12-15 • Просмотров [ 1098 ]