Интегралы вида \(\int R(\sin x,\cos x)dx\) , где \(R\) - рациональная функция
Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональньных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки \(tg(x/2)=t\). В результате этой подстановки имеем: < /div>
$$\sin x=\frac{2tg(x/2)}{1+tg^2(x/2)}=\frac{2t}{1+t^2}; \cos x=\frac{1-tg^2(x/2)}{1+tg^2(x/2)}=\frac{1-t^2}{1+t^2};$$
$$x=arctgx;dx=\frac{2dt}{1+t^2};$$
Пример 1. Найти интеграл
$$\int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}.$$
Подинтегральная функция рационально зависит от \(\sin x\) и \(\cos x\) , применим подстановку \(tg(x/2)=t\) , тогда
$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}$$
и
$$\int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^2}+3\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}+5}=$$
$$=2\int \frac{dt}{2t^2+8t+8}=\int \frac{dt}{(t+2)^2}=-\frac{1}{t+2}+C.$$
Возвращяясь к старой переменной, получим
$$\int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{tg(x/2)+2}+C.$$
Пример 2. Найти интеграл
$$\int \frac{dx}{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\cos x}.$$
Полагая \(tg(x/2)=t\), получим
$$\int \frac{dx}{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\cos x}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}}=$$
$$=2\int \frac{dt}{(a^2+b^2)(1+t^2)-(a^2-b^2)(1-t^2)}=\int \frac{dt}{a^2t^2+b^2}=$$
$$=\frac{1}{a}\int \frac{d(at)}{(at)^2+b^2}=\frac{1}{ab}arctg\frac{at}{b}+C=\frac{1}{ab}arctg(\frac{a}{b}\cdot tg\frac{x}{2})+C.$$
Универсальная подстановка \(tg(x/2)=t\) во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при ее применении \(\sin x\) и \(\cos x\) выражаются через \(t\) в виде рациональніх дробей, содержащих \(t^2\)
Пример 3. Найти интеграл
$$\int \frac{(\sin x+\sin ^3x)dx}{\cos 2x}.$$
Так как подинтегральная функция нечетная относительно синуса, то плагаем \(\cos x=t\) . Отсюда
\(\sin ^2x=1-t^2,\cos 2x=2\cos ^2x-1=2t^2-1,dt=-\sin xdx.\)
Таким образом,
$$\int \frac{(\sin x+\sin ^3x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^2)(-dt)}{2t^2-1}=\int \frac{(t^2-2)dt}{2t^2-1}=$$
$$=\frac{1}{2}\int \frac{2t^2-4}{2t^2-1}dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int \frac{dt}{2t^2-1}=$$
$$=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt 2}\int \frac{d(t\sqrt 2)}{2t^2-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt 2}=\ln \left|\frac{t\sqrt 2-1}{t\sqrt 2+1} \right|+C.$$
Следовательно,
$$\int \frac{(\sin x+\sin ^3x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt 2}\ln \left|\frac{\sqrt 2\cos -1}{\sqrt 2\cos +1} \right|+C.$$
Отметим, что в рассматриваемом случае интеграл всегда может быть записан в виде \(\int R*(\sin ^2 x,\cos x)\sin xdx.\)
Пример 4. Найти интеграл
$$\int \frac{dx}{\sin ^2x+2\sin x\cos x-\cos ^2x}.$$
Подинтегральная функция четна относительно синуса и косинуса. Полагаем \(tg x=t,\) тогда
$$\sin x=\frac{tg x}{\sqrt {1+tg^2x}}=\frac{t}{\sqrt {1+t^2}};\cos x=\frac{1}{\sqrt {1+tg^2x}}=\frac{t}{\sqrt {1+t^2}};x=arctgt;dx=\frac{dt}{1+t^2}.$$
Отсюда
$$\int \frac{dx}{\sin ^2x+2\sin x\cos x-\cos ^2x}=\int \frac{\frac{dt}{1+t^2}}{\frac{t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{\sqrt {1+t^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt {1+t^2}}-\frac{1}{1+t^2}}=\int \frac{dt}{t^2+2t-1}.$$
Далее, имеем
$$\int \frac{dt}{t^2+2t-1}=\int \frac{d(t+1)}{(t+1)^2-(\sqrt 2)^2}=\frac{1}{2\sqrt 2}\ln \left|\frac{t+1-\sqrt 2}{t+1+\sqrt 2} \right|+C.$$
и, следовательно,
$$\int \frac{dx}{\sin ^2x+2\sin x\cos x-\cos ^2x}=\frac{1}{2\sqrt 2}\ln \left|\frac{t+1-\sqrt 2}{t+1+\sqrt 2} \right|+C.$$
Заметим, что нахождение интеграла можно упростить, если в исходном интеграле разделить числитель и знаменатель на \(\cos ^2x\):
$$\int \frac{dx}{\sin ^2x+2\sin x\cos x-\cos ^2x}=\int \frac{\frac{dx}{\cos ^2x}}{tg^2x+2tgx-1}=\int \frac{d(tgx)}{tg^2x+2tgx-1.}$$
Пример 5. Найти интеграл \(\int \sin ^2x\cos ^4xdx.\)
$$\int \sin ^2x\cos ^4xdx=\int (\sin x\cos x)^2\cos ^2xdx=\int (\frac{1}{2}\sin 2x)^2\frac{1+\cos 2x}{2}dx=$$
$$=\frac{1}{8}\int \sin ^22xdx+\frac{1}{8}\int \sin ^22x\cos 2xdx=\frac{1}{8}\int \frac{1+\cos 4x}{2}dx+\frac{1}{8}\int \sin ^22x\cdot \frac{1}{2}d(\sin 2x)=$$
$$=\frac{1}{16}\int dx-\frac{1}{16}\int \cos 4xdx+\frac{1}{16}\int \sin ^22xd(\sin 2x)=\frac{1}{16}x-\frac{1}{64}\sin 4x+\frac{1}{48}\sin ^32x+C.$$
2012-12-18 • Просмотров [ 4358 ]
