Математичним ядром теорії поля є такі поняття, як градієнт, потік, потенціал, дивергенція, ротор, циркуляція та інші. Ці поняття важливі і в засвоєнні основних ідей математичного аналізу функцій багатьох змінних.
Градієнт скалярного поля і його властивості.
Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції \(U(x; y; z)\) в точці \(M (x; y; z)\), називають градієнтом функції і позначають \(gradU\), тобто \(gradU = \left( \frac{\partial U}{\partial x};\frac{\partial U}{\partial y};\frac{\partial U}{\partial z} \right)\) $$ gradU=\left(\frac{\partial U}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial U}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\vec{k}\right)$$ Градієнт функції вказує напрямок найшвидшого зростання функції. Найбільша швидкість зміни функції \(U\) в точці \(M (x; y; z)\) дорівнює $$\mid gradU\mid =\sqrt{\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)^2}$$
Властивості градієнта функції: $$grad\left(U+V\right)=gradU+gradV$$ $$grad\left(c\cdot U\right)=c\cdot gradU, c=const$$ $$grad\left(U\cdot V\right)=UgradV+VgradU$$ $$grad\left(\frac{U}{V}\right)=\frac{VgradU-UgradV}{V^2}$$ $$gradF\left(U\right)=\frac{\partial f}{\partial U}gradU$$
Наприклад. Знайти швидкість зростання функції \(U=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\) в точці \(A(-1;1;-1)\) $$gradU = \left(\frac{1}{y}-\frac{z}{x^2}\right)\vec{i}+\left(\frac{-x}{y^2}+\frac{1}{z}\right)\vec{j}+\left(\frac{-y}{z^2}+\frac{1}{x}\right)\vec{k};$$ $$gradU\left(-1;1;-1\right)=2\vec{i}+0\vec{j}-2\vec{k}=2\vec{i}-2\vec{k}.$$
Отже швидкість зростання функції дорівнює $$\mid gradU \mid \left(A\right)=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt{2}$$

---