Вычислить тройной интеграл \(\int \int \int_{V}{(x-y-z)dxdydz}\),

если, \(V:0\leq x\leq 3; 0\leq y\leq 3; -2\leq z\leq 1\)

Решение:

Для представленной области V (рисунок 1.1) получим:

\(\int \int \int_{V}{(x-y-z)dxdydz}=\int_{0}^{3}{dx}\int_{0}^{1}{dy}\int_{-2}^{1}{(x-y-z)dz}=\)

\(=\int_{0}^{3}{dx}\int_{0}^{1}{(xz-yz-\frac{z^2}{2})}\mid_{-2}^{1}dy\ =\)

\(=\int_{0}^{3}{dx}\int_{0}^{1}{(3x-3y-1.5)dy}=\int_{0}^{3}{(3xy-3y-\frac{3y^2}{2})}\mid_{0}^{1}dx\)

\(= \int_{0}^{3}{(3x-3)}dx=\frac{3x^2}{2}-3x\mid_{0}^{3}\ = \frac{3*9}{2}-9=4.5\)





Рисунок 1.1
Ответ: 4,5


Пример 2:
Вычислить тройной интеграл  \(\int \int \int_{T}{z} dxdydz\) ,где область  Т определяется неравенствами:

\(0\leq x\leq \frac{1}{2}, x\leq y\leq 2x, 0\leq z\leq \sqrt{1-x^2-y^2}\)

Решение:

\(I=\int_{0}^{1/2}{dx}\int_{0}^{2x}{dy}\int_{0}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}{zdz}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1/2}{dx}\int_{x}^{2x}{z^2}\mid_{0}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}dy=\)

\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{1/2}{dx}\int_{x}^{2x}{(1-x^2-y^2)dy}=\frac{1}{2} \int_{0}^{1/2}{[y-yx^2-\frac{1}{3}y^3]}\mid_{x}^{2x}dx=\)

\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{1/2}(2x-2x^3-\frac{8}{3}x^3-x+x^3+\frac{1}{3}x^3)dx=\)

\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{1/2}{(x-\frac{10}{3}x^3)}dx=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}x^3-\frac{5}{6}x^4]\mid_{0}^{1/2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{8}-\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{16})=\frac{7}{192}\)



Ответ:
7/192


2012-12-25 • Просмотров [ 1473 ]