Вычислить тройной интеграл \(\int \int \int_{V}{xdxdydz}\) с помощью сферических координат, если

\(V: z= \sqrt{18-x^2-y^2}, z= \sqrt{x^2+y^2}, x\geq 0\)
Решение:


На рисунке 1.1 изображена область интегрирования V. Если перейти к сферическим координатам \(\rho ,\varphi ,\theta\), в которых для данной области \(0\leq r\leq \sqrt{18}\), \(0\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\), \(\frac{-\pi }{4}\leq \varphi \leq 0\), то имеем:


\(\int \int \int_{V}{xdxdydz}=\int_{\frac{-\pi}{4} }^{0}{d\varphi}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{d\theta}\int_{0}^{\sqrt{18}}{rcos\varphi sin\theta r^2rsin\theta dr}=\)

\(\int_{\frac{-\pi}{4}}^{0}{d\phi }\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{d\theta }\int_{0}^{\sqrt{18}}{r^3}cos \varphi sin \theta sin\theta dr=\)

\(\int_{\frac{-\pi}{4}}^{0}81 cos\varphi d\varphi \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{(1-cos 2\theta )d\theta =81}(\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4})(sin(-\frac{\pi }{4}))=\)

\(\frac{81}{4}(\frac{\pi }{2}-1)\)


Рисунок 1.1

 Ответ: \(\frac{81}{4}(\frac{\pi }{2}-1)\)


2012-12-25 • Просмотров [ 3038 ]