С  помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями:

x = 0, z = 0, x + y = 4, \(z=4\sqrt{y}\)

Решение:

Уравнение \(z=4\sqrt{y}\) определяет параболический цилиндр второго порядка, все остальные поверхности-плоскости. Искомое тело изображено на рисунке 1.1


Рисунок 1.1

\(V=\int \int_{V}^{}{} \int dxdydz=\int_{0}^{4}{dx}\int_{0}^{4-x}{dy}\int_{0}^{\sqrt[4]{y}}{dz}=4\int_{0}^{4}{dx}\int_{0}^{4-x}{y}^{\frac{1}{2}}dy=\)


\(=4\int_{0}^{4}{\left(\frac{2\left(4-x \right)^{\frac{3}{2}}}{3} \right)}dx=\frac{8}{3}\int_{0}^{4}{\left(4-x \right)^{^{\frac{3}{2}}}}dx=-\frac{8}{3}\int_{0}^{4}{\left(4-x \right)^{\frac{3}{2}}d\left(4-x \right)}=\)


\(-\frac{8}{3}.\frac{3}{5}\left(4-x \right)^{\frac{5}{2}}\mid_{0}^{4}=-\frac{16}{15}\left(\left(4-4 \right) ^{\frac{5}{2}}-\left(4 \right)^{\frac{5}{2}}\right)=-\frac{16}{15}*\left(-32 \right)=\frac{512}{15}\)



Ответ: \(\frac{512}{5}\)(куб.ед)

Пример 2:


С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями.
 
\(z=-y^2; y=x; y=3; x=0;z=0\)

Решение:

Сделаем чертеж данного тела и его проекции на плоскость (рис.1.2)


Рисунок 1.2

\(V=\int_{0}^{3}{dx}\int_{x}^{3}{dy}\int_{0}^{9-y^2}{dz}=\int_{0}^{3}{dz}\int_{x}^{3}{(9-y^2)}dy=\)

\(\int_{0}^{3}{(9y-\frac{y^3}{3})\mid_{x}^{3}}dx=\int_{0}^{3}{(18-9x \frac{x^3}{3})dx}=\)

\(=\left(18x-\frac{9x^2}{2}+ \frac{x^4}{12}\right)\mid_{0}^{3}=\frac{81}{4}=20\frac{1}{4}\)



Ответ: \(20\frac{1}{4}\)


2012-12-25 • Просмотров [ 13339 ]