Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной линиями:

x=0, y=0,  x+y=2, если поверхностная плотность в каждой ее точке \(\mu =x^2+y^2\)
Решение:
Для вычисления массы m плоской пластины поданной поверхностной плотностью \(\mu\) воспользуемся физическим содержанием двойного интеграла и формулой:

 \(\mu=\int \int_{D}{(x^2+y^2)}dxdy\),

 где область интегрирования D показана на рисунке 1.1




Рисунок 1.1

\(m=\int \int_{D}^{}{}\left(x^{2} +y^{2}\right)dxdy=\int_{0}^{2}{dx}\int_{0}^{2-x}{\left(x^{2} +y^{2}\right)}dy=\int_{0}^{2}{\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3} \right)}\mid_{0}^{2-x}dx=\)

\(=\int_{0}^{2}{\left(x^{2} \left(2-x \right)+\frac{\left(2-x \right)^{3}}{3}\right)}dx=\int_{0}^{2}{\left(2x^{2}-x^{3}+\frac{\left(2-x \right)^{3}}{3} \right)}dx=\)

\(=\int_{0}^{2}{2x^{2}}dx-\int_{0}^{2}{x^{3}dx}+\int_{0}^{2}{\left(\frac{\left(2-x^{3} \right)}{3} \right)}dx=\frac{2x^{3}}{3}\mid_{0}^{2}-\frac{x^{4}}{4}\mid_{0}^{2}+\frac{\left(2-x \right)^{4}}{12}\mid_{0}^{2}=\)

\(=\frac{16}{3}-\frac{16}{4}+\frac{16}{12}=\frac{\left(4-3+1 \right).16}{12}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}\)

Ответ: 8/3 (ед)


2012-12-25 • Просмотров [ 11196 ]