Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле \(\int \int \int_{V}{f(x,y,z)}dxdydz\),

если область V ограничена поверхностями:

\(x\geq 0, y\geq 0,z\geq 0, 5x+y=5, z=x^2+y^2\)
Решение:

Согласно формуле, имеем:

\(\int \int \int_{V}{f(x,y,z)}dxdydz=\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{5-5x}{dy}\int_{0}^{y^2}{f(x,y,z)}dz\)

Область интегрирования изображен на рисунке 1.1



Рисунок 1.1

Пример 2:

Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле \(\int \int \int_{V}{f(xc,y,z)}dxdydz\)\), где V - тетраэдр, ограниченный плоскостями \(2x+3y+4z=12, x=0, y=0, z=0\).

В данном случае для z имеем: \(0\leq z\leq \frac{12-2x-3y}{4}\). Для того, чтобы установить границы изменения и , найдем проекцию на плоскость Oxy, положив z=0 в уравнении

\(2x+3y+4z=12\). В проекции получим  \(2x+3y=12; y=-\frac{2}{3}x+4\)

Следовательно, \(0\leq x\leq 6;0\leq y\leq- \frac{2}{3}x+4\).
Поэтому пределы интегрирования будут такими: \(\int_{0}^{6}{dx}\int_{0}^{-\frac{2}{3}x+4}{dy}\int_{0}^{\frac{12-2x-3y}{4}}{f(x.y.z)dz}\).









2012-12-25 • Просмотров [ 22730 ]