Непосредственное интегрирование

Пример 1. Найти интеграл
$$\int (\sqrt x+\frac{1}{\sqrt[3]x})^2dx.$$
Используя правила интегрирования находим :
$$\int (\sqrt x+\frac{1}{\sqrt[3]x})^2dx=\int (x+2\cdot \frac{x^{1/2}}{x^{1/3}}+\frac{1}{x^{2/3}})dx=$$
$$=\int (x+2x^{1/6}+x^{-2/3})dx=\int xdx+2\int x^{1/6}dx+\int x^{-2/3}dx=$$
$$=\frac{x^2}{2}+2\cdot \frac{x^{7/6}}{7/6}+\frac{x^{1/3}}{1/3}+C=\frac{x^2}{2}+\frac{12}{7}x\sqrt [6]x+3\sqrt [3]x+C.$$

Пример 2. Найти интеграл \(\int (1+x^2)^{1/2}xdx.\)
$$\int (1+x^2)^{1/2}xdx=\frac{1}{2}\int (1+x^2)^{1/2}\cdot 2xdx=\frac{1}{2}\int (1+x^2)^{1/2}d(1+x^2$$
Теперь переменной интегрирования служит \(1+x^2\) и относительно этой переменной получается интеграл от степенной функции. Следовательно,
$$\int (1+x^2)^{1/2}xdx=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1+x^2)^{1/2+1}}{1/2+1}+C=\frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2}+C.$$

Пример 3. Найти интеграл \(\int e^{3\cos x}\sin xdx.\)
Заданный интеграл можно представить так :
$$\int e^{3\cos x}\sin xdx=\frac{1}{3}\int e^{3\cos x}\cdot 3\sin xdx,$$
но \(3\sin xdx=-d(3cos x)\) , а потому
$$\int e^{3\cos x}\sin xdx=-\frac{1}{3}\int e^{3\cos x}d(3\cos x),$$
т.е. переменной интегрирования является \(3\cos x\) . Следовательно, интеграл :
$$\int e^{3\cos x}\sin xdx=-\frac{1}{3} e^{3\cos x}+C.$$

Пример 4. Найти интеграл \(\int (2\sin x+3\cos x)dx.\)
Находим
$$\int (2\sin x+3\cos x)dx=2\int \sin xdx+3\int \cos xdx=-2\cos x+3\sin x+C.$$

Замена переменной в неопределенном интеграле

Пример 1. Найти интеграл \(\int \frac{\sin \sqrt [3]x}{\sqrt [3]{x^2}}dx.\)
Произведем подстановку \(t=\sqrt [3]x\) т.е. \(x=t^3\). Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал \(dx=3t^2dt.\) Отсюда получаем
$$\int \frac{\sin \sqrt [3]x}{\sqrt [3]{x^2}}dx=\int \frac{3t^2\sin t}{t^2}dt=3\int \sin tdt=-3\cos t+C.$$
Ответ должен быть выражен через старую переменную \(x)\ . Подставляя в результат интегрирования \(t=\sqrt [3]x\) , получим
$$\int \frac{\sin \sqrt [3]x}{\sqrt [3]{x^2}}dx=-3\cos \sqrt [3]x+C.$$

Пример 2. Найти интеграл \(\int (2x+1)^{20}dx.\)
Этот интеграл можно найти и не производя замены переменной. Здесь достаточно развернуть выражение \((2x+1)^{20}\) по формуле бинома Ньютона и применить почленное интегрирования. Однако этот прием связан с большим количеством вычислений. С помощью замены переменной можно сразу свести данный интеграл к табличному.
Пологая \(2x+1=t\) , имеем \(2dx=dt,\) т.е. \(dx=(1/2)dt.\) Отсюда получаем
$$\int (2x+1)^{20}dx=\frac{1}{2}\int t^{20}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{21}t^{21}+C=\frac{1}{42}(2x+1)^{21}+C.$$
Пример 3.Если интеграл \(\int f(x)dx\) является табличным, то инетеграл \(\int f(ax+b)dx\) может быть легко найден с помощью подстановки \(ax+b=t\) .
Применим эту подстановку к интегралу \(\int \sin (ax+b)dx.\) Имеем \(ax+b=t\), \(adx=dt , dx=(1/a)dt.\) Следовательно ,
$$\int \sin (ax+b)dx=\int \sin t\cdot \frac{dt}{a}=\frac{1}{a}\int \sin t dt=-\frac{1}{a}\cos t+C.$$
Возратившись к старой переменной, получаем
$$\int \sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C.$$
Аналогично можно показать, что
$$\int \cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C,\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}\cdot e^{ax+b}+C...$$
При нахождении интеграла \(\int f(ax+b)dx\) записи самой подстановки \(ax+b=t\) можно фактически и не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что \(dx=\frac{1}{a}d(ax+b).\) Таким образом,
\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C,
где \(F\) - первообразная для \(f\).


2012-12-15 • Просмотров [ 3833 ]