Завдання

Обчислити потрійний інтеграл $${\int \int\int}_{G} {\frac{dxdydz}{x^2+y^2+z^2+R^2}},$$
де G - верхня половина кулі радіуса R із центром у початку координат: $$x^2+y^2+z^2\leq R^2; z\geq 0$$ Розв'язання:
Перейдемо до сферичних координат. Врахуємо, що у сферичних координатах рівняння сфери \(r =R\). Проекцією півкулі на площину хОу є круг \(x^2+y^2\leq R^2\).
Отже, маємо: $${\int \int\int}_{G} {\frac{dxdydz}{x^2+y^2+z^2+R^2}}=$$ $$=\left|\matrix{x= r \cos \varphi \sin \theta,& dxdydz=r^2 \sin \theta dr d \varphi d \theta ,\\ y=r \sin \varphi \sin \theta,& G\rightarrow G',\\z=r \cos \theta,& G':0\leq r\leq R,\;0\leq \varphi\leq 2\pi,\; 0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}}\right|=$$ $$={\int \int\int}_{G'}\frac{r^2 \sin \theta}{r^2+R^2}dr d\varphi d\theta=\int_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin \theta d \theta}\int_{0}^{R}{\frac{r^2dr}{r^2+R^2}}=$$ $$=\varphi\mid _{0}^{2\pi}\cdot \left(-\cos \theta \mid _{0}^{2\pi} \right)\left(\int_{0}^{R}{\frac{r^2+R^2-R^2}{r^2+R^2}}dr \right)=$$ $$=2\pi\left(\int_{0}^{R}{dr}-R^2\int_{0}^{R}{\frac{dr}{r^2+R^2}} \right)=$$ $$=2\pi\left(R-\frac{R^2}{R}\arctan\frac{r}{R}\mid _{0}^{R} \right)=2\pi\left(R-R\frac{\pi}{4} \right)=2\pi R\left(1-\frac{\pi}{4} \right).$$


2012-12-20 • Просмотров [ 1385 ]