Пример 1 Решить уравнение: $$3\cos x+5\sin x=0$$
Решение:
В первую очередь выясним, что $$cosx≠0\cos x\ne 0. $$
Предположим противное, что
$$cosx=0→sinx=±1\cos x=0\to \sin x=\pm 1.$$
Подставляем полученное значение в наше выражение, получаем:
$$3\times 0+5(\pm 1)=0; \pm 5=0$$
На основании этого можно сказать, что
$$cosx≠0\cos x\ne 0. $$
Разделим наше уравнение на
$$cosx\, $$
потому что все наше выражение имеет степенное значение, равное единице. Получим:
$$3(\frac{cosx}{cosx})+5(\frac{sinx}{cosx})=0$$
$$3+5tgx=0$$
$$tgx= - \frac{3}{5}$$
Это не табличное значение, поэтому в ответе будет фигурировать arctgx:
$$x=arctg\left( -\frac{3}{5} \right)+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z$$
Поскольку arctg— функция нечетная, «минус» мы можем вынести из аргумента и поставить его перед arctg.
Получим окончательный ответ: $$x=-arctg\frac{3}{5}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z$$
Пример 2 Решить уравнение: $$2 sin x - 3 cos x = 0.$$
Решение:
Разделим обе части уравнения на cos x:
$$\frac{2sinx}{cosx}-\frac{3cosx}{cosx}=\frac{0}{cosx}$$
Получаем:
$$2 tg x - 3 = 0$$
$$tg x = \frac{3}{2}$$
$$x = arctg \frac{3}{2} + \pi n$$
Ответ: $$x = arctg \frac{3}{2} + \pi n$$
