Частные производные первого порядка

Частной производной от функции \(z=f(x,y)\) по независимой переменной \(x\) называется конечный предел
$$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=\frac{\partial z}{\partial x}=f^{'}_x(x,y),$$
вычислений при постоянном \(y\).
Частной производной по \(y\) называют конечный предел
$$\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}=\frac{\partial z}{\partial y}=f^{'}_y(x,y),$$
вычислений при постоянном \(x\).

Пример 1. u=x^2-3xy-4y^2-x+2y+1. Найти \(\frac{\partial u}{\partial x}\) и \(\frac{\partial u}{\partial y}\) .
Рассматривая \(y\) как постоянную величину, получим
$$\frac{\partial u}{\partial x}=2x-3y-1.$$
Рассматривая \(x\) как постоянную величину, получим
$$\frac{\partial u}{\partial y}=-3x-8y+2.$$

Пример 2. \(z=e^{x^2+y^2}.\) Найти \(\frac{\partial u}{\partial x}\) и \(\frac{\partial u}{\partial y}\) .
$$\Delta \frac{\partial z}{\partial x}=e^{x^2+y^2}(x^2+y^2)^{'}_x=2xe^{x^2+y^2}$$
$$\Delta \frac{\partial z}{\partial y}=e^{x^2+y^2}(x^2+y^2)^{'}_y=2ye^{x^2+y^2}.$$

Пример 3. Показать, что функция \(z=y\ln (x^2-y^2)\) удовлетворяет уравнению
$$\frac{1}{x}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y}\cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^2}.$$
Находим
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2xy}{x^2-y^2},\frac{\partial z}{\partial y}=\ln (x^2-y^2)-\frac{2y^2}{x^2-y^2}.$$
Подставим найденые выражения в левую часть уравнения:
$$\frac{1}{x}\cdot \frac{2xy}{x^2-y^2}+\frac{1}{y}\left[\ln (x^2-y^2)-\frac{2y^2}{x^2-y^2} \right]=\frac{2}{x^2-y^2}-\frac{2}{x^2-y^2}+\frac{\ln (x^20y^2)}{y}\equiv \frac{z}{y^2}.$$
Получим тождество, т.е. функция \(z\) удовлетворяет данному уранению.

Полный дифференциал
Полным приращением функции \(z=f(x,y)\) в точке \(M(x;y)\) называется разность \(\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\) , где \(\Delta x\) и \(\Delta y\) - произвольные приращения аргумента.
Функция \(z=f(x,y)\) называется дифференцируемой в точке \((x;y)\) , если в этой ночке полное приращение можно представить в виде
\(\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )\), где \(\rho = \sqrt {\Delta x^2+\Delta y^2}.\)
Полным дифференциалом функции \(z=f(x,y)\) называется главная часть полного приращения \(\Delta z\) , линейная относительно приращения аргументов \(\Delta x\) и \(\Delta y\) , т.е. \(dz=A\Delta x+B\Delta y.\)
Дифференциалы независемых переменных совпадают с их приращениями, т.е. \(dx=\Delta x\) и \(dy=\Delta y\)
Полный дифференциал функции \(z=f(x,y)\) вычисляется по формуле
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy.$$
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов \(u=f(x,y,z)\) вычисляется по формуле
$$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz.$$

Пример 1. \(z=arctg \frac{x+y}{x-y}\). Найти \(dz\).
Найдем частные производные:
$$\frac{dz}{dx}=\frac{1}{1+(\frac{x+y}{x-y})^2}\cdot \frac{-2y}{(x-y)^2}=-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{dz}{dy}=\frac{1}{1+(\frac{x+y}{x-y})^2}\cdot \frac{2x}{(x-y)^2}=\frac{x}{x^2+y^2}.$$
Следовательно, $$dz=\frac{dz}{dx}dx+\frac{dz}{dy}=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}.$$

Пример 2. \(u=x^{y^2z}.\) Найти \(du\).
Имеем
\(du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz ,\) где
$$\frac{\partial u}{\partial x}=y^2z\cdot x^{y^{2}z-1};\frac{\partial u}{\partial y}=x^{y^{2}z}\cdot \ln x\cdot 2yz;\frac{\partial u}{\partial z}=x^{y^{2}z}\cdot \ln x\cdot y^2.$$
Следовательно,
$$du=y^2zx^{y^{2}z-1}dx+2yz\cdot x^{y^2z}\cdot \ln xdy+y^2x^{y^2z}\cdot \ln xdz.$$

Пример 3. Вычислить приближенно \(arctg(1,02/0,95)\) исходя из значения функции \(z=arctg(y/x)\) при \(x=1,y=1.\)
Значения функции \(z\) при \(x=1,y=1\) есть \(z=arctg(1/1)=\pi /4\approx 0,785.\)
найдем приращение функции \(\Delta z\) при \(\Delta x=-0,05,\Delta y=0,02:\)
$$\Delta z\approx dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y=-\frac{y\Delta x}{x^2+y^2}+\frac{x\Delta y}{x^2+y^2}=\frac{x\Delta y-y\Delta x}{x^2+y^2}=\frac{1\cdot 0,002+1\cdot 0,005}{2}=0,035.$$
Следовательно, \(arctg(1,02/0,95)=z+\Delta z\approx 0,785+0,035=0,82.\)


2012-12-12 • Просмотров [ 7553 ]