Представить двойной интеграл $$\int \int_{D}f(x,y)dxdy$$ в виде повторного интеграла с внешним интегрированием по x и внешним интегрированием по y, если область D задана указанными линиями:

\(x\geq 0, y\geq 0, y=0, x=\sqrt{4-y^2}\)

Решение:

Область D, изображенная на рисунке 1.1, ограничена полукругом \(x=\sqrt{4-y^2}\) и прямой y=1,x=0,y=0.
 
Итак получаем:


\(\int \int_{D}{f(x,y)dxdy}=\int_{1}^{\sqrt{3}}{dx}\int_{0}^{1}{f(x,y)dy}+\int_{\sqrt{3}}^{2}{dx}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}{f(x,y)dy}=\int_{0}^{1}{dy}\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}{f(x,y)}dx\)


Рисунок 1.1

Ответ: \(\int_{0}^{1}{dy}\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}{f(x,y)}dx\)


Пример 2:
Найти повторный интеграл
\(\int_{0}^{1}\int_{y}^{y^2}{(x+2y)}dxdy\).
Решение:

Здесь область интегрирования относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox). Вычисляя сначала внутренний интеграл по x, и затем внешний по y, получаем

\(\int_{0}^{1}\int_{y}^{y^2}{(x+2y)}dxdy=\int_{0}^{1}{\left[\int_{y}^{y^2}{(x+2y)dx} \right]}dy=\int_{0}^{1}{\left[\left(\frac{x^2}{2}+2yx \right)\mid_{y}^{y^2} \right]}dy=\)


\(=\int_{0}^{1}\left[\left(\frac{y^4}{2}+2y^3 \right) -\left(\frac{y^2}{2}+2y^2 \right)\right]dy=\int_{0}^{1}{\left[\frac{y^4}{2}+2y^3-\frac{5y^2}{2} \right]}dy=\)

\(=\left[\left(\frac{y^5}{10}+\frac{y^4}{2}-\frac{5y^3}{6}\right) \right]\mid_{0}^{1}=\frac{1}{10}+\frac{1}{2}-\frac{5}{6}=-\frac{7}{30}\)


     


2012-12-21 • Просмотров [ 6810 ]