Пример 3. Решить уравнение $$1 + cos x + sin x = 0.$$ Представим $$1 + cos x$$ как $$2 cos^2 \frac{x}{2} ,$$ a sin x как $$2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} .$$ Тогда данное уравнение можно записать в виде: $$2 cos^2 \frac{x}{2} + 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = 0.$$ Поэтому $$2 cos \frac{x}{2} (cos \frac{x}{2} + sin \frac{x}{2} ) = 0.$$ Если $$cos \frac{x}{2} = 0, то \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + n \pi$$ и, следовательно, $$x = \pi + 2n \pi .$$ Если $$cos \frac{x}{2} + sin \frac{x}{2} =0$$ $$1 + tg \frac{x}{2} = 0,$$ следовательно $$х = - \pi /2 + 2k\pi .$$ Ответ: $$x = \pi + 2n\pi , x = - \pi /2 + 2k\pi$$ Пример 4. Решить уравнение $$cos 2х = cos 6x.$$ Перепишем данное уравнение в виде $$cos 2х - cos 6х = 0$$ и используем формулу для разности косинусов двух углов. В результате получим: $$-2sin\frac{2x+6x}{2}sin\frac{2x-6x}{2}=0$$ или $$2 sin 4x sin 2x = 0.$$ В таком случае либо sin2 x = 0 и тогда $$2x = m\pi , x = m\frac{\pi }{4},$$ либо sin 4x = 0 и тогда $$4x = k\pi , x = k\frac{\pi }{4}.$$ Ответ: $$x = k\frac{\pi }{4}.$$
