Числовые ряды

Пример 1. Найти общий член ряда \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}...\) .
Последовательные числители образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7...; n-й член прогрессии находим по формуле \(a_n=a_1+d(n-1)\). Здесь \(a_1=1, d=2,\) поэтому \(a_n=2n-1\). Последовательные знаменатели образуют геометрическую прогрессию \(2, 2^2, 2^3, 2^4\), ...; n-й член этой прогрессии \(b_n=2^n\) . Следовательно, общий член ряда \(u_n=(2n-1)/2^n\).
Вобще нужно иметь в виду, что несколько первых членов ряда полностью ряд не определяют.

Пример 2. Найти сумму ряда
$$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+...$$ .
Общий член ряда можно представить в следующем виде:
$$u_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right),откуда$$
$$u_1=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3} \right), u_2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5} \right), u_3=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} -\frac{1}{7}\right), u_4=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9} \right), ... .$$
Cледовательно,
$$S_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3} \right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} -\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7} \right)+...+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)=$$
$$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1} \right).$$
Так как \(lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{2n+1} \right)=\frac{1}{2}\) , то ряд сходится и его сумма равна 1/2.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда \(1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+...\) , если \(p<1\) .
Члены этого ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда. Следовательно, ряд расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда
$$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}+...$$
Составим ряд из абсолютных величин:
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+... .$$
Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.

Функциональные ряды

Пример 1. Показать, что ряд
$$\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^4+2}+\frac{1}{x^6+3}-\frac{1}{x^8+4}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{x^{2n}+n}+...$$
сходится равномерно при всех значениях \(x\)
Данный ряд при любом значении \(x\) сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства \(\left|R_n(x) \right|<\left|u_{n+1}(x) \right|\) т.е.
$$\left|R_n(x) \right|<\frac{1}{x^{2n+2}+n+1}<\frac{1}{n+1}. $$
Так как неравенство \(\frac{1}{n+1}\leq \varepsilon и n\geq \frac{1}{\varepsilon }-1\) равносильны, то, взяв \(n\geq N\), где N- какое-нибудь целое положительно число, удовлетворяющее условию \(N\geq \frac{1}{\varepsilon }-1\) , приходим к неравенству \(\left|R_n(x) \right|\leq \varepsilon\) . Итак, данный ряд сходится равномерно в промежутке \(]-\infty ; +\infty[\) .

Пример 2. Законно ли применение к ряду
$$cos x+\frac{1}{2}\cdot \cos 2x+\frac{1}{2^2}\cdot \cos 3x+...+\frac{1}{2{n-1}}\cos nx+...$$
теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутке \(\left[\pi /4;\pi /3 \right]?\)
Члены заданного ряда при любом занчении \(x\) по абсолютной величине меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогресси \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...\). Поэтому данный ряд согласно признаку Вейерштрасса равномерно сходится в промежутке \(]-\infty;\infty[\) и, следовательно, к нему можно применить теорему об интегрировании рядов для любого конечного промежутка \([a,b]\) , в частности, для промежутка \(\left[\pi /4;\pi /3 \right].\)


2012-12-06 • Просмотров [ 9983 ]