Завдання

Розкласти за формулою Тейлора функцію $$f(x,y)=x^3-5x^2-xy+y^2+10x+5y-4$$
в околі точки \(M_0(2,-1).\)
Розв'язання:
Спочатку обчислюємо значення \(f(x,y)\) та її частинних похідних у точці \(M_0(2,-1)\).
$$f(x,y)=x^3-5x^2-xy+y^2+10x+5y-4, \; f(2,-1)=2;$$ $$f'_x(x,y)=3x^2-10x-y+10, \; f'_x(2,-1)=3;$$ $$f'_y(x,y)=-x+2y+5, \; f'_y(2,-1)=1;$$ $$f''_{xx}(x,y)=6x-10, \; f''_{xx}(2,-1)=2;$$ $$f''_{xy}(x,y)=-1, \; f''_{xy}(2,-1)=-1;$$ $$f''_{yy}(x,y)=2, \; f''_{yy}(2,-1)=2;$$ $$f'''_{xxx}(x,y)=6, \; f'''_{xxx}(2,-1)=6;$$

Всі подальші похідні тотожно рівні нулю. Використовуючи формулу: $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{1}{1!}\left(\frac{df(x_0,y_0)}{dx}(x-x_0)+ \frac{df(x_0,y_0)}{dy}(y-y_0)\right)+$$ $$+\frac{1}{2!}\bigg( \frac{d^2f(x_0,y_0)}{dx^2}(x-x_0)^2+ 2\frac{d^2f(x_0,y_0)}{dxdy}(x-x_0)(y-y_0)+$$ $$+\frac{d^2f(x_0,y_0)}{dy^2}(y-y_0)^2 \bigg)+$$ $$+_{...}+\frac{1}{m!}\left(\frac{d}{dx}(x-x_0)+\frac{d} {dy}(y-y_0) \right)^mf(x_0,y_0)+o(\rho^m).$$
отримаємо шуканий результат: $$f(x,y)=2+3(x-2)+(y+1)+(x-2)^2-$$ $$-(x-2)(y+1)+(y+1)^2+(x-2)^3.$$


2012-12-14 • Просмотров [ 1030 ]