Завдання

Розкласти функцію: $$f(z)=\sqrt{\frac{1}{(z-2)(z-3)}}$$
в ряд Лорана у вказаних кільцях \(2<|z|<3\)
Розв'язання:
Представимо задану функцію у вигляді: $$f(z)=\sqrt{\frac{1}{(z-2)(z-3)}}=\frac{1}{(z-3)}-\frac{1}{(z-2)}.$$ $$\frac{1}{(z-3)}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}=-\frac{1}{3}\left(1+\frac{z}{3}+\frac{z^2}{3^2}+\frac{z^3}{3^3}+...+\frac{z^n}{3^n}+... \right),\;|z|<3,$$ $$\frac{1}{(z-2)}=\frac{1}{z\left(1-\frac{2}{z} \right)}=\frac{1}{z}\left(1+\frac{2}{z}+\frac{2^2}{z^2}+\frac{2^3}{z^3}+...+\frac{2^n}{z^n}+... \right)=$$ $$=\frac{1}{z}+\frac{2}{z^2}+\frac{2^2}{z^3}+\frac{2^3}{z^4}+...+\frac{2^{n-1}}{z^n}+... , \; |z|>2.$$
Отже, $$f(z)=-\sum_{n-1}^{\infty}{\frac{2^{n-1}}{z^n}-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{z}{3} \right)^n}},\;2<|z|<3.$$


2012-12-21 • Просмотров [ 1656 ]