Задача 1

$$x^2+Cy^2-2y=0.$$

Решение. Пусть \(y=y(x)\) — непрерывно дифференцируемое решение данного уравнения, где \(C\) — параметр, не зависящий от \(x\). Тогда должно выполняться тождество

$$F(x, C)=x^2+Cy^2(x)-2y(x)=0,$$

где \(x \in X \subset R, X\) — некоторое множество. Функция \(F\) дифференцируема по \(x\). Взяв производную, имеем

$$(1) \: \frac{\partial F (x,C)}{\partial x}\equiv2x+2y(x)y'(x)C-2y'(x)\equiv0,$$

Откуда

$$(2) \: C=\frac{y'-x}{yy'},\; (yy'\not\equiv0).$$

Подставив (2) в (1), получим дифференциальное уравнение

$$(x^2-y)y'-xy=0.$$

Задача 2

$$Cy-\sin Cx=0.$$

Решение. Аналогично проделанному выше получим тождество

$$Cy'(x)-C\cos Cx \equiv 0.$$

При \(C=0\) семейство кривых, для которых составляется дифференциальное уравнение, не определено, поэтому \(C \neq 0\). Из системы уравнений

$$(1)\: y'^2=\cos^2Cx,\; C^2y^2=\sin^2Cx$$

находим

$$(2)\: C^2=\frac{1-y'^2}{y^2}, y \neq 0.$$

Подставив (2) в (1), имеем \(1-y'^2=\sin^2\left(\sqrt{\frac{1-y'^2}{y^2}} \right),\) или \(y'=\cos\left( \frac{x \sqrt{1-y'^2}}{y} \right).\)

Задача 3

$$Cy-\sin Cx = 0.$$

Решение. Дважды дифференцируя по \(x\) тождество \((x-C_1)^2+C_2y^2(x)-1 \equiv 0,\) получим:

$$2(x-C_1)+2C_2y(x)y'(x) \equiv 0,\; 1+\left((y'(x)^2+y(x)y''(x) \right)C_2 \equiv 0.$$

Исключив из трех тождеств постоянные \(C_1\) и \(C_2\), имеем

$$y^3y''+(y'^2+yy'')^2=0.$$

Задача 4

$$y=e^{C_x}$$

Решение. После дифференцирования по переменной \(x\) получим \(y'(x)=Ce^{C_z}\), откуда \(C=\frac{y'}{y}\: (y\neq 0)\). Таким образом, дифференциальное уравнение данного семейства имеет вид

$$y=e^{\frac{y'}{y}x}.$$

Задача 5

$$x-C_1y^2-C_2y-C_3=0.$$

Решение. Трижды продифференцировав данное равенство по \(x\), получаем:

$$(1)1-2yy'C_1-C_2y'=0,\: 2(y'^2+yy'')C_1+C_2y''=0,\: 2(3y'y''+yy''')C_1+C_2y'''=0.$$

Из последнего равенства (1) находим

$$(2)\: C_1=-\frac{C_2y'''}{2(3y'y''+yy''')}\; (3y'y''+yy'''\neq 0).$$

Подставив (2) во второе равенство (1), получаем

\(y'^2y'''-3y'y''^2=0\) или \(3y''^2-y'y'''=0,\)

в силу того, что \(y' \neq 0\) (это следует из первого равенства (1)).

Примечание. Во всех рассмотренных выше примерах мы предполагали, что существует производная требуемого порядка неявно заданной функции. Это предположение существенно, поскольку уже простейшее уравнение \(y^2-x^2-C=0\) определяет бесконечное множество разрывных неявных функций \(y=y(x,C), -\infty < x <+\infty\), например

$$y=\begin{cases} \sqrt{C+x^2}, & \text{ } x \in Q, \\ -\sqrt{C+x^2}, & \text{ } x \in \frac{R}{Q} , \end{cases}\; C\neq 0.$$

---