Задание.. Решить уравнение \((1+x^2)dy-2xydx=0\). Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.
Решение.Разделим переменные в уравнении.
$$(1+x^2)dy=2xydx$$
разделим на \(y(1+x^2)\), получим
$$\large \frac{dy}{y}=\frac{2xdx}{1+x^2},$$
проинтегрируем уравнение
$$\large \int \frac{dy}{y} =\int \frac{2xdx}{1+x^2}+C,$$
$$\large ln\left|y \right|=ln\left|1+x^2 \right|+ln\left|C \right|,$$
откуда получаем общее решение
$$\large y=C(1+x^2)$$
Чтобы найти частное решение, определим значение C по начальным условиям
$$\large 1=C(1+0),C=1.$$
Следовательно, частное решение имеет вид \(\large y(x)=1+x^2.\)
Замечание. При делении на y мы могли потерять решение y = 0. Подставляя y = 0 в
исходное уравнение, видим, что это решение и оно может быть получено из общего при
C = 0.

---

---