Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
$$P(A+B)=P(A)+P(B).$$
Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий:
$$P(\sum_{i=1}^{n}{A_i})=\sum_{i=1}^{n}{P(A_i)}.$$
Событие \(A\) называется независимым от события \(B\), если вероятность события \(A\) не зависит от того, произошло событие \(B\) или нет. Событие \(A\) называется зависимым от события \(B\), если вероятность события \(A\) меняется в зависимости от того, произошло событие \(B\) или нет.
Вероятность события \(A\), вычисленная при условии, что имело место другое событие \(B\), называется условной вероятностью события \(A\) и обозначается \(P(A/B)\).
Условие независимости события \(A\) от события \(B\) можно записать в виде \(P(A/B)=P(A)\), а условие зависимости — в виде \(P(A/B)\neq P(A)\).

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
$$P(AB)=P(A) \cdot P(A/B) ; P(AB)=P(B) \cdot P(A/B)$$
Если событие \(A\) не зависит от события \(B\), то и событие \(B\) не зависит от события \(A\) тогда
$$P(AB)=P(A) \cdot P(B).$$

Пример 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.
Решение. Имеем \(n=10+15+20+25=70,\) \(P(Wh)=10/70=1/7,\) \(P(Bl)=15/70=3/14,\) \(P(Blue)=20/70=2/7,\) \(P(Red)=25/70=5/14.\) Применив теорему сложения вероятностей, получим
$$P(Wh+Bl)=P(Wh)+P(Bl)=1/7+3/14=5/14;$$
$$P(Blue+Red)=P(Blue)+P(Red)=2/7+5/14=9/14;$$
$$P(Wh+Bl+Blue)=1-P(Red)=1-5/14=9/14.$$

Пример 2. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение.В данном случае речь идет о совмещении событий \(A\) и \(B\), где событие Л — появление белого шара из первого ящика, событие В — появление белого шара из второго ящика. При этом \(A\) и \(B\) — независимые события. Имеем \(P(A)=2/12=1/6,\) \(P(B)=8/12=2/3.\). Применив теорему умножения вероятностей, находим
$$P(AB)=P(A)\cdot P(B)=(1/6)\cdot (2/3)=1/9.$$

Пример 3. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой—черный.
Решение. Пусть:событие
\(A\) - появление белого шара из первого ящика;
\(B\) - появление белого шара из второго ящика;
\(С\) - появление черного шара из первого ящика; \((C= \overline {A})\)
\(D\) - появление черного шара из второго ящика; \((D= \overline {B})\)
Тогда
$$P(A)=1/6,P(B)=2/3,P(C)=P(\overline {A})=1-1/6=5/6,P(D)=P(\overline {B})=1-2/3=1/3.$$
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из второго ящика —черный:
$$P(AD)=P(A)\cdot P(D)=(1/6)\cdot (1/3)=1/18.$$
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный, а из второго ящика—белый:
$$P(BC)=P(B)\cdot P(C)=(2/3)\cdot (5/6)=5/9.$$
Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящика,— черным. Применяем теорему сложения вероятностей:
$$P=P(AD)=P(BC)=1/18+5/9=11/18.$$

Формула Бернулли

Если производится \(n\) независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события \(A\) одна и та же и равна \(p\), то вероятность того, что событие \(A\) появится в этих \(n\) испытаниях \(m\) раз, выражается формулой Бернулли
$$P_{m,n}=C_n^mp^mq^{n-m},$$
где \(q=1-p.\) Таким образом
$$P_0,nq^n,P_{1,n}=npq^{n-1},P_{2,n}=\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}p^2q^{n-2},...,P_{n,n}=p^n.$$
Число \(m_0\) называется наивероятнейшим числом наступлений события \(A\) в \(n\) испытаниях, если значение \(P_{m,n}\) при \(m=m_0\) не меньше остальных значений \(P_{m,n}\) т. е. \(P_{m_0,n}\geq P_{m_i,n}\) при \(m_j\neq m_0\) .

Пример 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?
Решение. Вероятность извлечения белого шара \(p=20/30=2/3\) можно считать одной и той же во всех четырех испытаниях; \(q=1-p=1/3.\) Используя формулу Бернулли, получаем
$$P_{2,4}=C^2_4p^2q^2=\frac{4\cdot 3}{1\cdot 2}(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^2=\frac{8}{27}.$$

Пример 2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
Решение. Вероятность рождения девочки \(p=0,5\), тогда \(q=1-p=0,5\) (вероятность рождения мальчика). Значит, искомая вероятность
$$P_{3,5}=C^3_5p^3q^2=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2=\frac{5}{16}.$$

Пример 3. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше трех девочек.
$$P_{0,5}=(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{32};P_{1,5}=5\cdot (\frac{1}{2})^5=\frac{5}{32};$$
$$P_{2,5}=10\cdot (\frac{1}{2})^5=\frac{5}{16};P_{1,5}=10\cdot (\frac{3}{5})^5=\frac{5}{16};$$
$$P=P_{0,5}+P_{1,5}+P_{2,5}+P_{3,5}=\frac{13}{16}.$$


2012-12-19 • Просмотров [ 8147 ]