Пример 1: Решить уравнение $$sin\frac{\pi (x-3)}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$ Решение:
Решением уравнения sin x = a являются два корня: $$x_{1}=arcsin\: a+2\pi n$$ $$x_{2}=\pi - arcsin\: a+2\pi n$$ Значит $$\frac{\pi (x-3)}{4}=(-1)^n\: arcsin\: \frac{\sqrt2}{2}+\pi n$$ Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от – п/2 до п/2 синус которого равен a. $$arcsin\: \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi }{4}$$ Значит $$\frac{\pi (x-3)}{4}=(-1)^n\frac{\pi }{4}+\pi n$$ Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи): $$x-3=(-1)^n+4\pi$$ $$x=(-1)^n+4\pi +3$$ Ответ: $$x=(-1)^n+4\pi +3$$
Пример 2: Решить уравнение $$sinx=-\frac{\sqrt3}{2}$$ Решение:
Снова по определению: $$x=(-1)^narcsin(-\frac{\sqrt3}{2})+\pi n$$ Вначале вынесем «минус» из арксинуса $$x=(-1)^n(-1)arcsin(\frac{\sqrt3}{2})+\pi n$$ $$x=(-1)^{n+1}arcsin(\frac{\sqrt3}{2})+\pi n$$ Осталось посчитать арксинус, это синус угла п/3.
Ответ: $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi }{3}+\pi n$$

---